Luyện tập 1 trang 58 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M...

Sử dụng định lý Thales, ta có AB/AN = MB/MN và AC/AP = MC/MP. Khi đó, ta có MA/MI = MA/(MN + NI) = (AB + AC)/(AN + MP) = AB/AN = 1/2. Do đó, ta chứng minh được rằng I là trung điểm của AM.

Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AB tại E và AC tại F. Ta có tứ giác MPFN và EPAN là hình bình hành, từ đó ta suy ra I là trung điểm của AM.

Gọi H là giao điểm của NP và AM. Ta có tứ giác APHN là hình bình hành, do đó, AH song song với PN và AH cắt NP tại I, suy ra I là trung điểm của AM.

Dựa vào định lí Tam giác đồng dạng, ta có AMN đồng dạng với ABC. Khi đó, ta có tỉ số MA/MN = AB/AC = 1/2 (do I là trung điểm của NP). Tương tự, ta có tỉ số AI/IM = AN/NM = AB/AC = 1/2. Do đó, ta có AI = IM, tức là I là trung điểm của AM.