Bài tập 3.23 trang 63 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT:Cho hình bình hành ABCD. Lấy...

Để chứng minh rằng tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành, ta có thể sử dụng phép chiếu đối xứng. Khi chiếu đối xứng tứ giác AEFD qua đường thẳng AB, ta sẽ thu được tứ giác ABF'C'F, trong đó F' là hình chiếu của F trên đường thẳng AB. Tương tự, khi chiếu đối xứng tứ giác ABFC qua đường thẳng CD, ta sẽ thu được tứ giác ADC'E, trong đó E' là hình chiếu của E trên đường thẳng CD. Từ đó, ta có thể chứng minh rằng AEFD và ABFC là hình bình hành.

Để chứng minh rằng tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành, ta có thể sử dụng phương pháp vectơ. Gọi vectơ EA = a, nên vectơ AB = 1/2 a. Tương tự, vectơ FD = b, nên vectơ FC = 1/2 b. Ta sẽ thấy các vectơ này là các đường chéo của hai hình bình hành, từ đó chứng minh rằng tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành. Tiếp tục áp dụng phương pháp vectơ, ta cũng có thể chứng minh rằng các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Để chứng minh rằng các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau, ta cần chứng minh rằng tứ giác AEFD và ABFC là hai tứ giác đồng dạng. Vì AEFD và ABFC đều là hình bình hành nên các cạnh đối xứng tương ứng có tỉ lệ bằng nhau. Do đó, ta có AF // DE // BC và các điểm trung điểm của ba đoạn thẳng này đồng nhau, chứng tỏ rằng các trung điểm của chúng trùng nhau.

Để chứng minh rằng hai tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối xứng và hai góc đối xứng. Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE, và vì C là trung điểm của DF nên CD = CF. Do đó, ta có các cặp cạnh đối xứng AB = BE và CD = CF. Ngoài ra, ta cũng có góc ABE = góc DCF do AB // DF và AEFD là hình bình hành, và góc AFC = góc DFB do CD // AB và ABFC là hình bình hành. Từ đó, ta đã chứng minh hai tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành.