Bài 12 : Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE,...

Để chứng minh rằng hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm, ta sẽ sử dụng hệ thức cấp ba trong hình học vectơ.

Gọi G là trọng tâm của tam giác NQR. Ta có:

$\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GR} = \overrightarrow{0}$

($\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$) + ($\overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GE}$) + ($\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GA}$) = $\overrightarrow{0}$

($\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GE}$) + ($\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}$) + ($\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}$) = $\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{2GE} + \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GP} = \overrightarrow{0}$

Với trọng tâm của tam giác EMP là trung điểm của các đỉnh, nên $\overrightarrow{GM} = -\overrightarrow{ME}$ và $\overrightarrow{GP} = -\overrightarrow{EP}$

Do đó, $\overrightarrow{2GE} - \overrightarrow{ME} - \overrightarrow{EP} = \overrightarrow{0}$

Vậy ta đã chứng minh được rằng hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Đáp án: Hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm là G.