Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 1 Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

Hoạt động 1 trang 6 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm góc lượng giác

Trên đồng hồ Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Luyện tập 1 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho góc hình học uOv = $45^{\circ}$. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) trong mỗi trường hợp say:

Hoạt động 2 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết hệ thức Chasles

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là $30^{\circ}$ và $45^{\circ}$

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để $sđ(Ou,Ov) + sđ(Ov,Ow) =sđ(Ou,Ow)+k360^{\circ}$

Luyện tập 2 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho một góc lượng giác (Ox,Ou) có số đo $240^{\circ}$ và một góc lượng giác (Ox,Ov) có số đo $-270^{\circ}$. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou,Ov).

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

Luyện tập 3 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: 

a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau: $360^{\circ};-450^{\circ}$

b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: $3\pi ;-\frac{11\pi }{5}$

Hoạt động 3 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo $\alpha $ rad

Vận dụng 1 trang 10 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm, bánh xe trước có đường kính là 92 cm, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút

b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ)

c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút)

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 4 trang 10 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1;0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quy kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ 

a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho $sđ(OA,OM)=\frac{5\pi }{4}$ 

b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho $sđ(OA,ON)=-\frac{7\pi }{4}$

Luyện tập 4 trang 11 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{15\pi }{4}$ và $420^{\circ}$

Hoạt động 5 trang 11 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhắc lại giá trị lượng giác $sin\alpha ,cos\alpha ,tan\alpha ,cot\alpha $ của góc $\alpha (0^{\circ}\leq \alpha \leq  180^{\circ})$ đã học ở lớp 10 (H.1.9)

Luyện tập 5 trang 12 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\pi }{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho

Luyện tập 6 trang 13 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: $cos\frac{3\pi }{7};tan(-37^{\circ}25')$

b) Đổi $179^{\circ}23'30''$ sang radian

c) Đổi $\frac{7}{9}$ (rad) sang độ

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

Hoạt động 6 trang 13 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản

a) Dựa vào định nghĩa của $sin\alpha $ và $cos\alpha $, hãy tính $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha $

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $tan\alpha $, hãy tính $1+tan^{2}\alpha $

Luyện tập 7 trang 14 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết: $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

Hoạt động 7 trang 14 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau

Xét hai điểm M. N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa $cos(-\alpha )$ và $cos\alpha ;sin(-\alpha )$ và $sin\alpha $

b) Từ kết quả HĐ6a, ta có liên hệ giữa: $tan(-\alpha )$ và $tan\alpha ;cot(-\alpha )$ và $cot\alpha $

Luyện tập 8 trang 15 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính

a) $sin(-675^{\circ})$

b) $tan\frac{15\pi }{4}$

Vận dụng 2 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

$B(t)=80+7sin\frac{\pi t}{12}$

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimet thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng

b) 10 giờ 30 phút sáng

c) 12 giờ trưa

d) 8 giờ tối

Bài tập

Bài tập 1.1 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Hoàn thành bảng sau:

Bài tập 1.2 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\pi }{12}$

b) 1.5

c) $35^{\circ}$

d) $315^{\circ}$

Bài tập 1.3 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\pi }{3}$

b) $-\frac{11\pi }{4}$

c) $150^{\circ}$

d) $315^{\circ}$

Bài tập 1.4 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giá trị lượng giác góc $\alpha $, biết

a) $cos\alpha =\frac{1}{5}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

b) $sin\alpha =\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $

c) $tan\alpha =\sqrt{5}$ và $\pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}$

d) $cot\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $

Bài tập 1.5 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh các đẳng thức:

a) $cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha =2cos^{2}\alpha -1$

b) $\frac{cos^{2}\alpha +tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }=tan^{2}\alpha $

Bài tập 1.6 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680mm