Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 5 Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Hoạt động 1 trang 42 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số vô hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n

Hoạt động 2 trang 43 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số hữu hạn

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng $u_{n}$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n

Luyện tập 1 trang 43 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: 

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

2. Các cách cho một dãy số

Hoạt động 3 trang 43 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số ($u_{n}$) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số

Luyện tập 2 trang 44 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ với số hạng tổng quát $u_{n}=n!$

b) Viết năm số hạng đầu của dãy Fibonacci ($F_{n}$) cho bởi hệ thức truy hồi $ \left\{\begin{matrix}F_{1}=1,F_{2}=1\\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(n\geq 3)\end{matrix}\right.$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Hoạt động 4 trang 43 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=3n-1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_{n}$

b) Xét dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=\frac{1}{n^{2}}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_{n}$

Luyện tập 3 trang 45 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=\frac{1}{n+1}$

Hoạt động 5 trang 45 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+1}{n},\forall n\in N$*

a) So sánh $u_{n}$ và 1

b) So sánh $u_{n}$ và 2

Luyện tập 4 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=2n-1$

Vận dụng trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ, được cm kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi $s_{n}$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: $s_{1}=200,s_{n}=s_{n-1}+25$ với $n\geq 2$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $(s_{n})$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghãi thực tế của kết quả này.

Bài tập

Bài tập 2.1 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát cho bởi

a) $u_{n}=3n-2$

b) $u_{n}=3$x$2^{n}$

c) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Bài tập 2.2 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Dãy số $(u_{n})$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}$ với $n\geq 2$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Bài tập 2.3 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Xét tính tăng, giảm của dãy số ($u_{n}$), biết:

a) $u_{n}=2n-1$

b) $u_{n}=-3n+2$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$

Bài tập 2.4 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong các dãy số ($u_{n}$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n}=n-1$

b) $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$

c) $u_{n}=sinn$

d) $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$

Bài tập 2.5 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Bài tập 2.6 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

$A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Bài tập 2.7 trang 47 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi $A_{n}(n\in N)$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}$ để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_{n})$