Bài tập 1.4 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giá trị lượng giác góc...

Phương pháp giải:

a) Ta đã biết $cos\alpha =\frac{1}{5}$, khác 0 và $\alpha$ thuộc $(0,\frac{\pi}{2})$. Áp dụng công thức $sin^2\alpha +cos^2\alpha =1$, ta tính được $sin\alpha =\sqrt{1-cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Từ đó, tính được $tan\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha}=\frac{1}{2\sqrt{6}}$.

b) Đối với $sin\alpha =\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, ta tính được $cos\alpha =-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. Tiếp tục tính $tan\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha}=\frac{-\sqrt{5}}{2}$.

c) Cây cầu cho $tan\alpha =\sqrt{5}$ và $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$. Từ đó, ta suy ra $sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^2\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}=-\frac{\sqrt{30}}{6}$. Tương tự, tính được $cos\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+tan^2\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+5}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}$.

d) Cuối cùng, với $cot\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, ta tính được $tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha}=-\sqrt{2}$. Từ đó, $sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^2\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+2}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ và $cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{1+tan^2\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{1+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Dựa vào các kết quả trên, ta có thể hoàn thiện câu trả lời chi tiết và đầy đủ hơn.