Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 13 Hai mặt phẳng song song

1. Hai mặt phẳng song song

Hoạt động 1 trang 88 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó

Câu hỏi trang 88 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

Hoạt động 2 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho mặt phẳng ($\alpha $) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ($\beta $) (H.4.41)

Nếu $(\alpha )$ và ($\beta $) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Câu hỏi trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?

Luyện tập 1 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m,n) song song với mặt phẳng (BCD).

Vận dụng 1 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Hoạt động 3 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn không?

Câu hỏi trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Luyện tập 2 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho $\frac{MA}{MS}=\frac{NB}{NS}=\frac{PC}{PS}=\frac{QD}{QS}=\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Hoạt động 4 trang 90 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q)

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Luyện tập 3 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD)

3. Định lí Thales trong không gian

Hoạt động 5 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số $\frac{AB}{BC},\frac{AD}{DC'}$ và $\frac{A'B'}{B'C'}$ có bằng nhau không?

Luyện tập 4 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Hoạt động 6 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Các hình ảnh dưới đay có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tăm giác mà em đã học ở lớp 7

Câu hỏi trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và  có độ dài bằng nhau.

Luyện tập 5 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ

Hoạt động 7 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Luyện tập 6 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Vận dụng 2 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao?

Bài tập

Bài tập 4.21 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P),(Q),(R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q)thì (P) song song với (Q)

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P)song song với (Q)

d) Nếu (P) và (Q)cắt (R)thì (P)và (Q) song song với nhau.

Bài tập 4.22 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình lăng trụ tam giác (ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">A(ABC)">B(ABC)">C(ABC)">⋅(ABC)">(ABC)">A(ABC)">′(ABC)">(ABC)">B(ABC)">′(ABC)">(ABC)">C(ABC)">′. Gọi (ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">M(ABC)">,(ABC)">N(ABC)">,(ABC)">P(ABC)">(ABC)"> lần lượt là trung điểm của các cạnh (ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">A(ABC)">(ABC)">A(ABC)">′(ABC)">,(ABC)">B(ABC)">(ABC)">B(ABC)">′(ABC)">,(ABC)">C(ABC)">(ABC)">C(ABC)">′(ABC)">(ABC)">. Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">((ABC)">(ABC)">(ABC)">M(ABC)">N(ABC)">P(ABC)">) song song với mặt phẳng (ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">(ABC)">((ABC)">(ABC)">(ABC)">A(ABC)">B(ABC)">C).

Bài tập 4.23 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình thang ABCD">ABCD có hai đáy AB">AB và ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">CABCD">D. Qua các điểm ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">AABCD">,ABCD">D lần lượt vẽ các đường thẳng ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">mABCD">,ABCD">n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">(ABCD">ABCD">ABCD">AABCD">BABCD">CABCD">DABCD">). Chứng minh rằng ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">mpABCD">ABCD">(ABCD">ABCD">ABCD">BABCD">,ABCD">mABCD">) và ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">ABCD">mpABCD">ABCD">(ABCD">ABCD">ABCD">CABCD">,ABCD">nABCD">) song song với nhau.

Bài tập 4.24 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm $A_{1},A_{2}$ sao cho $AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}S$ Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua $A_{1},A_{2}$. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại $B_{1},C_{1}$. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại $B_{2},C_{2}$. Chứng minh $BB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}S$ và $CC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}S$.SABC">SABC">SABC">SABC">

Bài tập 4.25 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A'', B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B'', C'', D'' là hình gì?

Bài tập 4.26 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Bài tập 4.27 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M'  là hình hộp

Bài tập 4.28 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.