Bài tập 1.5 trang 16 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh các đẳng thức:a)...

Để chứng minh các đẳng thức trong bài tập, ta sẽ sử dụng các công thức quen thuộc của hàm lượng giác.

a) Chứng minh $cos^{4}\alpha - sin^{4}\alpha = 2cos^{2}\alpha - 1$:
Ta có $cos^{4}\alpha - sin^{4}\alpha = (cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha)$
Vì $cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha = 1$, nên ta được:
$cos^{4}\alpha - sin^{4}\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha = cos^{2}\alpha - (1 - cos^{2}\alpha) = 2cos^{2}\alpha - 1$

b) Chứng minh $\frac{cos^{2}\alpha + tan^{2}\alpha - 1}{sin^{2}\alpha} = tan^{2}\alpha$:
Ta có $\frac{cos^{2}\alpha + tan^{2}\alpha - 1}{sin^{2}\alpha} = \frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{tan^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha} - \frac{1}{sin^{2}\alpha}$
$= cot^{2}\alpha + \frac{\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}}{sin^{2}\alpha} - \frac{1}{sin^{2}\alpha} = \frac{1}{cos^{2}\alpha} - 1 = tan^{2}\alpha$

Vậy, hai đẳng thức đã được chứng minh.