Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 15 Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 1 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Luyện tập 1 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}=0$

Hoạt động 2 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n}$. Xét dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{n}=u_{n}-1$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Luyện tập 2 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=3$

Vận dụng 1 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_{n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

2. Định lí về giới hạn của dãy số

Hoạt động 3 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $u_{n}=2+\frac{1}{n},v_{n}=3-\frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Luyện tập 3 trang 107 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động 4 trang 107 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi $u_{1},u_{2},...,u_{n},...$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

b) Tìm $S=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}S_{n}$

Luyện tập 4 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+...+\frac{2}{7^{n-1}}+...$

Vận dụng 2 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a) Tính thời gian $t_{1},t_{2},...,t_{n},...$ tương ứng để Achiles đi từ $A_{1}$ đến $A_{2}$, từ $A_{2}$ đến $A_{3}$, ..., từ $A_{n}$ đến $A_{n+1},...$

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achiles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...,$ tức là thời gian cần thiết để Achiles đuổi kip rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Hoạt động 5 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn $u_{n}$ sau chu kì thứ n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10000?

Luyện tập 5 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n-\sqrt{n})$

Bài tập

Bài tập 5.1 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+2n}-n)$

Bài tập 5.2 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hai dãy số không âm $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}$

Bài tập 5.3 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n-1}$

b) $v_{n}=\sqrt{2n^{2}+1}-n$

Bài tập 5.4 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12)=1,121212...

b) 3,(102)=3,102102102...

Bài tập 5.5 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Bài tập 5.6 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng $\alpha $ (H.5.3). Từ A kẻ $AA_{1}\perp BC$, từ $A_{1}$ kẻ $A_{1}A_{2}\perp AC$, sau đó lại kẻ $A_{2}A_{3}\perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA_{1}A_{2}A_{3}... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và $\alpha $