Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 15 Giới hạn của dãy số

Giải bài 15: Giới hạn của dãy số sách toán lớp 11 tập 1 kết nối tri thức

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm về giới hạn của dãy số. Đây là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lớp 11. Sách giáo khoa cung cấp các bài tập và ví dụ minh họa để giúp học sinh hiểu rõ về khái niệm này.

Bằng cách đọc và làm các bài tập trong sách, học sinh sẽ có cơ hội rèn luyện kỹ năng giải toán, logic tư duy và phân tích vấn đề. Phần đáp án chuẩn và hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi học và ôn tập cho kiểm tra, kì thi sắp tới.

Đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn trong quá trình học tập. Hãy nắm vững kiến thức bài này để có thể áp dụng vào các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Chúc các em học tốt!

Bài tập và hướng dẫn giải

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 1 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Trả lời: Phương pháp giải:a) Để biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số, ta có:$u_{1}=-1;... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 1 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}=0$

Trả lời: Để chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}=0$, ta sử dụng định... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Hoạt động 2 trang 105 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n}$. Xét dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{n}=u_{n}-1$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Trả lời: Để tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$, ta trước hết phải tính dãy số $(v_{n})$ bằng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 2 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=3$

Trả lời: Phương pháp giải:Ta có $u_{n}=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}= \frac{11}{2^{n}}$.Ta cần chứng minh... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Vận dụng 1 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_{n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

Trả lời: Để chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0, ta có thể giải bài toán theo cách sau:Đầu tiên... Xem hướng dẫn giải chi tiết

2. Định lí về giới hạn của dãy số

Hoạt động 3 trang 106 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $u_{n}=2+\frac{1}{n},v_{n}=3-\frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

Trả lời: Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các bước sau:Bước 1: Tính tổng của hai dãy số $(u_{n})$ và... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 3 trang 107 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}$

Trả lời: Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng phương pháp đặt n = $\frac{1}{x}$ khi n tiến đến vô cùng. Ta... Xem hướng dẫn giải chi tiết

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động 4 trang 107 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi $u_{1},u_{2},...,u_{n},...$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

b) Tìm $S=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}S_{n}$

Giải Hoạt động 4 trang 107 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 Kết nối

Trả lời: Phương pháp giải:Để tính tổng $S_n$, ta có $u_n = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{n-1}}$a) Ta tính... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 4 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+...+\frac{2}{7^{n-1}}+...$

Trả lời: Để tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+\ldots+\frac{2}{7^{n-1}}+\ldots$, ta nhận thấy chuỗi này... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Vận dụng 2 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a) Tính thời gian $t_{1},t_{2},...,t_{n},...$ tương ứng để Achiles đi từ $A_{1}$ đến $A_{2}$, từ $A_{2}$ đến $A_{3}$, ..., từ $A_{n}$ đến $A_{n+1},...$

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achiles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...,$ tức là thời gian cần thiết để Achiles đuổi kip rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu

Trả lời: Phương pháp giải:a) Ta biết được rằng để chạy hết quãng đường từ $A_{1}$ đến $A_{2}$ với $A_{1}A_{2}... Xem hướng dẫn giải chi tiết

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Hoạt động 5 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn $u_{n}$ sau chu kì thứ n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10000?

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng phương pháp sau:a) Ta có công thức tính số vi khuẩn sau chu... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 5 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n-\sqrt{n})$

Trả lời: Phương pháp giải:Ta có $n-\sqrt{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)$. Hơn nữa $\underset{n\rightarrow +\infty... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập

Bài tập 5.1 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+2n}-n)$

Trả lời: Để giải câu hỏi trên:a) Ta có:$\underset{n\rightarrow +\infty... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5.2 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hai dãy số không âm $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}$

Trả lời: Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các quy tắc về giới hạn của dãy số. Phương pháp giải:a) Ta... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5.3 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n-1}$

b) $v_{n}=\sqrt{2n^{2}+1}-n$

Trả lời: a) Phương pháp giải:Đặt $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n - 1}$.Ta chia tử và mẫu cho $n^2$ ta được:$u_n =... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5.4 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12)=1,121212...

b) 3,(102)=3,102102102...

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta có thể áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học vô hạn:a) $1... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5.5 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta sử dụng công thức của cấp số nhân để tính lượng thuốc trong cơ thể của... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 5.6 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng $\alpha $ (H.5.3). Từ A kẻ $AA_{1}\perp BC$, từ $A_{1}$ kẻ $A_{1}A_{2}\perp AC$, sau đó lại kẻ $A_{2}A_{3}\perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA_{1}A_{2}A_{3}... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và $\alpha $

Giải Bài tập 5.6 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 Kết nối

Trả lời: Để tính độ dài của đường gấp khúc $AA_{1}A_{2}A_{3}...$, ta sẽ sử dụng công thức tổng của cấp số... Xem hướng dẫn giải chi tiết
FREE học Tiếng Anh
0.44158 sec| 2281.406 kb