Bài tập 8. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ tại...

Để giải bài toán trên, ta cần lưu ý rằng phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với tiếp tuyến tại điểm A.

Để tìm được phương trình đường thẳng này, ta cần xác định vector pháp tuyến của đường tròn tại điểm A. Để làm điều này, ta lấy đạo hàm của phương trình đường tròn (C) theo x và y, sau đó substituting giá trị điểm A vào đạo hàm của x và y.

Đạo hàm theo x ta được 2(x-1), đạo hàm theo y ta được 2(y-1). Thay A(4,5) vào ta được vector pháp tuyến tại A là (2(4-1), 2(5-1)) = (6,8).

Vì tiếp tuyến là đường vuông góc với vector pháp tuyến, suy ra vector pháp tuyến là (8, -6). Phương trình đường thẳng đi qua A và có vector pháp (8, -6) có dạng: 8(x-4) - 6(y-5) = 0 <=> 8x - 32 - 6y + 30 = 0 <=> 8x - 6y = 2 <=> 4x - 3y = 1.

Vậy phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm A(4,5) là 4x - 3y = 1.