Bài tập 15. Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn các điều kiện:a) Tiêu điểm (8; 0);b)...

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng 2 phương pháp sau:

Phương pháp 1:
a) Gọi tiêu điểm của parabol là $T(h, k)$. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là $2p$, với $p$ là vành độ (distance between the focus and the directrix). Ta có công thức tính vành độ là $p=\frac{1}{4c}$, với $c$ là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Từ điều kiện khoảng cách $c=4$, ta có $p=\frac{1}{4 \times 4} = \frac{1}{16}$. Vậy phương trình đường chuẩn là $y=-\frac{1}{16}$.

b) Ta có công thức tiêu điểm một parabol có phương trình chính tắc là $y^2=4ax$. Đặt $T(h, k)$ là tiêu điểm, ta có $T(h, k) = (a, 0)$. Từ đó, ta có $h=a$ và $k=0$. Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 4ah$. Từ $h=a$, ta suy ra $y^2 = 4h^2$. Từ $k=0$, ta suy ra $h=8$ và $a=8$. Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 32x$.

Phương pháp 2:
a) Gọi tiêu điểm của parabol là $T(h, k)$. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là $2p$, với $p$ là vành độ (distance between the focus and the directrix). Ta có công thức tính vành độ là $p=\frac{1}{4c}$, với $c$ là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Từ điều kiện khoảng cách $c=4$, ta có $p=\frac{1}{16}$. Vậy phương trình đường chuẩn là $y=-\frac{1}{16}$.

b) Ta có công thức tiêu điểm một parabol có phương trình chính tắc là $y^2=4ax$. Đặt $T(h, k)$ là tiêu điểm, ta có $T(h, k) = (a, 0)$. Từ đó, ta có $h=a$ và $k=0$. Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 4ah$. Từ $h=a$, ta suy ra $y^2 = 4h^2$. Từ $k=0$, ta suy ra $h=2$ và $a=1/2$. Vậy phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 8x$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là:
a) Phương trình chính tắc của parabol là $y^2 = 32x$ hoặc $y^2 = 8x$.