Giải bài tập 6: Hệ thức Vi ét và ứng dụng
Giải bài tập 6: Hệ thức Vi ét và ứng dụng
Nghiệm và hệ số của phương trình có mối liên quan đặc biệt và thú vị. Để giải thích điều này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Hệ thức Vi - ét và cách áp dụng nó trong giải các bài tập. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lý thuyết cần thiết cũng như hướng dẫn cách giải các bài tập dựa trên sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hệ thức Vi - ét: Nếu $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ (với $a\neq 0$) thì ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+ x_{2}=-\frac{b}{a} & \\ x_{1}. x_{2}=\frac{c}{a} & \end{matrix}\right.$
2. Tổng quát: Nếu $a+b+c=0$, phương trình có một nghiệm là $x_{1}=1$ và nghiệm còn lại là $x_{2}=\frac{c}{a}$. Nếu $a-b+c=0$, phương trình có một nghiệm là $x_{1}=-1$ và nghiệm còn lại là $x_{2}=\frac{-c}{a}.
3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng $S$ và tích $P$, chúng là nghiệm của phương trình $x^{2}-Sx+P=0$. Điều kiện để hai số đó là nghiệm của phương trình là $S^{2}-4P\geq 0$
Với những kiến thức trên, bạn sẽ có thêm cách nhìn mới và kỹ năng giải quyết bài tập một cách hiệu quả hơn. Hy vọng rằng thông qua bài viết này, bạn sẽ nắm vững hơn về Hệ thức Vi - ét và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập. Chúc bạn học tốt!
Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 25: trang 52 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu $x_{1};x_{2}$là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (....):
| a. $2x^{2}-17x+1=0$ | $\Delta =....$ | $x_{1}+x_{2}=......$ | $x_{1}.x_{2}=....$ |
| b. $5x^{2}-x-35=0$ | $\Delta =....$ | $x_{1}+x_{2}=......$ | $x_{1}.x_{2}=....$ |
| c. $8x^{2}-x+1=0$ | $\Delta =....$ | $x_{1}+x_{2}=......$ | $x_{1}.x_{2}=....$ |
| d. $25x^{2}+10x+1=0$ | $\Delta =....$ | $x_{1}+x_{2}=......$ | $x_{1}.x_{2}=....$ |
Câu 26: trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Dùng điều kiện $a+b+c=0$hoặc $a-b+c=0$để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a. $35x^{2}-37x+2=0$
b. $7x^{2}+500x-507=0$
c. $x^{2}-49x-50=0$
d. $4321x^{2}+21x-4300=0$
Câu 27: trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi - ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a. $x^{2}-7x+12=0$
b. $x^{2}+7x+12=0$
Câu 28: trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a. $u+v=32; uv=231$
b. $u+v=-8; uv=-105$
c. $u+v=2; uv=9$
Câu 29: trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a. $4x^{2}+2x-5=0$
b. $9x^{2}-12x+4=0$
c. $5x^{2}+x+2=0$
d. $159x^{2}-2x-1=0$
Câu 30: trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a. $x^{2}-2x+m=0$
b. $x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$
Câu 31: trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a. $1,5x^{2}-1,6x+0,1=0$
b. $\sqrt{3}x^{2}+(1-\sqrt{3})x-1=0$
c. $(2-\sqrt{3})x^{2}+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0$
d. $(m-1)x^{2}-(2m+3)x+m+4=0$với $m\neq 1$
Câu 32: trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a. $u+v=42; uv=441$
b. $u+v=-42; uv=-400$
c. $u-v=5; uv=24$
Câu 33: trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình $ax^{2}+bx+c=0$có nghiệm là $x_{1}; x_{2}$
thì tam thức $ax^{2}+bx+c$phân tích được thành nhân tử như sau:
$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. $2x^{2}-5x+3$
b. $3x^{2}+8x+2$