Bài tập 48 trang 79 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho hình bình hành ABCD (AC >...

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AC² = AM² + MC². Từ hai tam giác ACF và AMB đồng dạng, ta có AM/AC = AB/AF và AC/AM = AF/AB. Từ đó suy ra AM² = AB.AF và MC² = AB.AE. Kết hợp hai công thức trên ta được AB.AE + AB.AF = AM² + MC² = AC².

Kẻ DH vuông góc với AB (H thuộc đường thẳng AB). Ta có hai tam giác AHD và ABE đồng dạng. Từ đó, ta suy ra AB/AE = AD/AH và AB/AH = AD/AE. Khi đó, AB.AE = AH.AD = S(AHD) = AC².

Gọi G là giao điểm của CE và DF. Khi đó, ta có các tam giác AGF và AGE đồng dạng với ABC. Từ đó suy ra các tỉ lệ AB/AE = AG/AF và AB/AF = AG/AE. Tương đương AB.AE = AG.AF = S(AGF) = AD².

Ta có AB.AE = S(ABE) và AD.AF = S(ADF), với S là diện tích tam giác. Do đó, AB.AE + AD.AF = S(ABE) + S(ADF) = S(ABCD) = AC².