Câu 14: Trang 77 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 1Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của...

Cách làm:

1. Xét tam giác vuông ABC với góc B là góc nhọn.
2. Áp dụng định nghĩa các lượng giác:
- sin alpha = AC/BC
- cos alpha = AB/BC
- tan alpha = AC/AB
- cot alpha = AB/AC
3. Từ đó, chứng minh:
a. $\tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ => $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$
b. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{AC}{BC})^2 + (\frac{AB}{BC})^2 = \frac{AC^2}{BC^2} + \frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AC^2 + AB^2}{BC^2}$
Xét tam giác vuông ABC, ta có: $AC^2 + AB^2 = BC^2$
$\Rightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:
1. Ta có tam giác vuông ABC với góc nhọn B.
2. Áp dụng định nghĩa của sin, cos, tan, cot:
- sin alpha = AC/BC
- cos alpha = AB/BC
- tan alpha = AC/AB
- cot alpha = AB/AC
3. Chứng minh:
a.
- $\tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
- $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$
b.
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{AC}{BC})^2 + (\frac{AB}{BC})^2 = \frac{AC^2}{BC^2} + \frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AC^2 + AB^2}{BC^2}$
- Xét tam giác vuông ABC: $AC^2 + AB^2 = BC^2$
- $\Rightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a và b của câu hỏi.