Bài tập 7.42 trang 65 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình hộp...

Để giải bài toán trên, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

a) Để tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta cần tính diện tích của mặt đáy $ABCD$ và sau đó nhân với chiều cao $AA'$.
- Diện tích mặt đáy $S_{ABCD} = a^2$ (vì hình vuông $ABCD$).
- Chiều cao $AA' = AD = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ (do $A'D$ là đường cao của tam giác $A'BD$, tam giác vuông tại $D$ với góc $60^\circ$).
Vậy thể tích $V = S_{ABCD} \cdot AA' = a^2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

b) Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$, ta cần tìm điểm chiếu $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(A'BD)$.
- Gọi $M$ là trung điểm của $BD$, ta có $AM = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.
- Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ chính là $AH$, trong đó $AH = AM \cdot \cos(\widehat{AMB})$.
- Tính được $BM = \frac{a\sqrt{3}}{4}$, suy ra $\cos(\widehat{AMB}) = \frac{\frac{1}{2}a}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{4a} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
- Vậy $AH = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{a\sqrt{3}}{8}$.

Vậy câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi trên như sau:
a) Thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ là $\frac{a\sqrt{3}}{8}$.