Bài tập 7.39 trang 65 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho tứ diện $ABCD$ có tam...

a) Để chứng minh $BC \perp (AID)$, ta có thể sử dụng định lí cơ bản trong hình học về tứ giác cân. Với tam giác $ABC$ cân tại $A$, ta có $AB = AC$, và với tam giác $BCD$ cân tại $D$, ta có $BC = BD$. Do đó, tam giác $ABD$ cân tại $B$ và $BD$ là đường trung trực của $AC$. Khi đó, ta có $BD \perp AC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Vì $I$ là trung điểm của $BC$, nên $IM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} BD$. Ta có tam giác $AIM$ cân tại $A$ và $AI \perp IM$, nên $AI$ là đường cao của tam giác $AIM$. Từ đó, $AI \perp BC$, hay $BC \perp (AID)$.

b) Để chứng minh $AH \perp (BCD)$, ta có thể sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Với tam giác $BCD$ cân tại $D$, ta có $BD \perp AC$. Với tam giác $ABC$ cân tại $A$, ta có $AC \perp AI$. Kết hợp hai điều này, ta có $AH \parallel AC$ và $AH \perp BCD$.

c) Để chứng minh $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$, ta có thể sử dụng định lí về đường cao trong tam giác và đường thẳng nối hai trung điểm. Gọi $J$ là trung điểm của $ID$. Ta đã chứng minh được $AI \perp BC$ và $ID \perp BC$, nên $AI \parallel ID$. Từ đó, ta suy ra tam giác $AIM$ đồng dạng với tam giác $DID$, và $\frac{IJ}{IM} = \frac{ID}{AI}$. Từ đó, $\frac{IJ}{AD} = \frac{1}{2} \frac{ID}{AI} = \frac{1}{2} \frac{ID}{IM}$, suy ra $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

Vậy, các phần a, b và c đã được chứng minh.