Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 31 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 31 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Tron sách Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức, bài 31 đề cập đến định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Đạo hàm xác định mức độ biến thiên của một hàm số tại một điểm cụ thể và cung cấp thông tin về độ dốc của đồ thị của hàm số đó ở điểm đó.

Trên cuốn sách, cung cấp phần đáp án chuẩn và hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập về đạo hàm. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm này và áp dụng vào việc giải các bài tập thực hành.

Hy vọng rằng thông qua việc học bài này, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức về đạo hàm, và phát triển khả năng giải quyết vấn đề trong toán học một cách logic và chính xác.

Bài tập và hướng dẫn giải

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Hoạt động 1 trang 81 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, $s=s(t)$ (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$

b Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?

Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$

Trả lời: Để giải câu hỏi trên, ta có thể sử dụng định nghĩa vận tốc trung bình và đạo hàm của hàm số.a)... Xem hướng dẫn giải chi tiết

b) Cường độ tức thời

Hoạt động 2 trang 82 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$.

b) Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?

Trả lời: Để tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$, ta sử dụng công... Xem hướng dẫn giải chi tiết

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Luyện tập 1 trang 83 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y= -x^{2}+2x+1$ tại điểm $x_{0}=-1$

Trả lời: Phương pháp giải:Ta có hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$. Để tính đạo hàm của hàm số này tại một điểm $x_0$... Xem hướng dẫn giải chi tiết

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hoạt động 3 trang 83 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm $f(x_{0})$ tại điểm $x_{0}$ bất kì trong các trường hợp sau:

a) $f(x)=c$ (c là hằng số);

b) $f(x) = x$.

Trả lời: a) Phương pháp giải cho hàm số $f(x) = c$, với $c$ là hằng số bất kỳ:Để tính đạo hàm của hàm số... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyên tập 2 trang 84 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^{2}+1$;

b) $y = kx + c$ (với k, c là các hằng số).

Trả lời: Để tìm đạo hàm của hàm số, ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm. Đạo hàm của một hàm số được tính bằng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Hoạt động 4 trang 84 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và điểm $P(x_{0};f(x_{0}))\in (C)$. Xét điểm $Q(x; f (x))$ thay đổi trên (C) với $x\neq x_{0}$

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P,Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc KPQ của cát tuyến PQ.

b) Khi $x\rightarrow  x_{0}$ thì vị trí của điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

 Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Trả lời: Phương pháp giải:a) Để tìm hệ số góc KPQ của cát tuyến PQ, ta xác định đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyên tập  trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^{2} $ tại điểm có hoành độ$x_{0}=\frac{1}{2}$

Trả lời: Phương pháp giải:- Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^{2}$ tại điểm có hoành độ $x_{... Xem hướng dẫn giải chi tiết

b) Phương trình tiếp tuyến 

Hoạt động 5 trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $y=x^{2}$ có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta cần làm như sau:a) Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị parabol ở... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyên tập 4 trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=-2x^{2}$ tại điểm có hoành độ $ x_{0}=-1$

Trả lời: Phương pháp giải:Để tìm phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=-2x^{2}$ tại điểm có hoành độ... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Vận dụng trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^{\circ}$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 0^{\circ}$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5).

Trả lời: Phương pháp giải:Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đầu mút của cây cầu. Ta có... Xem hướng dẫn giải chi tiết

BÀI TẬP

Bài tập 9.1 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^{2} – x $tại$x_{0} = 1$;

b) $y = -x^{3}$ tại $x_{0} = -1$.

 

Trả lời: Để tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số trong bài toán, ta sử dụng công thức:$$f'(x_{0}) =... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9.2 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)$ y = kx^{2} + c$ (với k, c là các hằng số);

b) $y = x^{3}$

Trả lời: Để tìm đạo hàm của hàm số theo định nghĩa, ta sử dụng công thức: $f'(x) = \lim_{h \to 0}... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9.3 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y=-x^{2}+4x $, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_{0} = 1$;

b) Tiếp điểm có tung độ $y_{0} = 0$.

Trả lời: a) Phương pháp giải:Để viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y=-x^{2}+4x$ tại điểm có hoành độ... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9.4 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức $h=19,6t – 4,9t^{2}$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Trả lời: Để giải bài toán này, ta cần tìm thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0. Để làm điều này, ta sẽ giải... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 9.5 trang 86 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_{1}$, và đoạn dốc xuống $L_{2}$, là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_{1}$ và  $L_{2}$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là $y = ax^{2} + bx + c$, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường con

Trả lời: a) Phương pháp giải:Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, các đoạn đường dốc $L_{1}$... Xem hướng dẫn giải chi tiết
FREE học Tiếng Anh
0.38389 sec| 2269.672 kb