Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 25 Hai mặt phẳng vuông góc

Giải bài tập toán lớp 11: Hai mặt phẳng vuông góc

Trên sách Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 25, chúng ta sẽ tìm hiểu về hai mặt phẳng vuông góc trong không gian. Nội dung này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ và nắm vững kiến thức bài toán này. Phần đáp án chuẩn và hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em tự tin với từng bài tập trong chương trình học của sách giáo khoa.

Chúng ta hy vọng rằng sau khi học bài này, các em sẽ có cái nhìn tổng quan về hai mặt phẳng vuông góc và có khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Hãy cùng nhau học tập và tiến bộ trong môn toán!

Bài tập và hướng dẫn giải

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 1 trang 44 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').

Trả lời: Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng phương pháp dùng hình vẽ hoặc sử dụng lý thuyết:**Phương... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 1 trang 45 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, $SO \perp  (ABCD)$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Trả lời: Để chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình... Xem hướng dẫn giải chi tiết

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2 trang 45 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

Trả lời: a) Phương pháp giải:- Chọn một điểm A trên đường thẳng a và kết nối A với đường thẳng b tạo thành... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 2 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bán lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Trả lời: Phương pháp giải:Trong một phòng vuông góc, mặt sàn và các mặt tường đều vuông góc với nhau. Khi... Xem hướng dẫn giải chi tiết

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 3 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến $\Delta$ của (P)và (Q). Gọi O là giao điểm của a và $\Delta$. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với $\Delta$ tại D.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q)

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến

Trả lời: Để giải câu hỏi trên, ta có thể thực hiện như sau:a) Góc giữa đường a và đường b là 0 độ, vì khi kéo... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Hoạt động 4 trang 46 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P). (Q) hay không?

b) Tim mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tim mối quan hệ giữa a và (R).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

Trả lời: a) Phương pháp giải:- Vì a là giao tuyến của (P) và (Q) cùng vuông góc với (R), ta có thể chứng minh... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 3 trang 47 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

b) Giao tuyển của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Trả lời: Phương pháp giải:a) Ta chứng minh được AB' vuông góc với SBC và AD' vuông góc với SCD. Do đó, AB' và... Xem hướng dẫn giải chi tiết

4. GÓC NHỊ PHÂN

Hoạt động 5 trang 47 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyển a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiều đến bao nhiêu độ?

Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số

Trả lời: Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện như sau:a) Góc giữa mặt ghế và lưng ghế, được ký hiệu... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 4 trang 48 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,

$\widehat{BAC}=120^{\circ}$ , $SA= \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tinh số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,

Trả lời: a) Phương pháp giải:- Vì $SA \perp (ABC)$ nên $\angle SAB = \angle SAC = 30^{\circ}$.- Do tam giác... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Vận dụng 1 trang 48 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng dị khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung

Trả lời: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:1. Gọi X là giao điểm của đường thẳng đi qua M song... Xem hướng dẫn giải chi tiết

5. MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT 

a) Hình lăng trụ đứng 

Hoạt động 6 trang 49 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Trả lời: Để giải câu hỏi trên, ta cần biết rằng một lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật. Đồng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

b) Hình lăng trụ đều

Hoạt động 7 trang 49 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Trả lời: Để giải câu hỏi này, ta có thể sử dụng phương pháp suy luận hình học như sau:- Gọi ABCD là hình chữ... Xem hướng dẫn giải chi tiết

c) Hình hộp đứng

Hoạt động 8 trang 49 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Trả lời: Phương pháp giải:Cách 1: Ta có thể chứng minh bằng cách xem xét cấu tạo của hình hộp. Hình hộp đứng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

d) Hình hộp chữ 

Hoạt động 9 trang 50 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: 

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vi sao?

Trả lời: a) Phương pháp giải:- Hình hộp chữ nhật có tổng cộng 6 mặt.- Trong đó, 2 mặt đối diện của hình hộp... Xem hướng dẫn giải chi tiết

e) Hình lập phương

Hoạt động 10 trang 50 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Trả lời: Phương pháp giải:Phương pháp 1: - Vẽ hình lập phương.- Tính các cạnh và đo các góc để xác định các... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Vận dụng 2 trang 50 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65.

Trả lời: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:1. Vẽ hình chữ nhật ban đầu và cắt 4 hình vuông... Xem hướng dẫn giải chi tiết

6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

Hoạt động 11 trang 51 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m,

Trả lời: Phương pháp giải:Bước 1: Sử dụng thông tin về hình chóp đều và hình chóp cụt đều.Bước 2: Xác định... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Hoạt động 12 trang 51 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.A1A2...An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều A1A2...An?

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

 Cho hình chóp S.A1A2...An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

Trả lời: Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ rằng khi một hình chóp có đáy là một đa giác đều và đỉnh của... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Luyện tập 5 trang 51 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{\frac{5}{12}}$.Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Trả lời: Phương pháp giải:Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lí cosin trong tam giác và tính... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Hoạt động 13 trang 52 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.A1A2...An. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tai B1B2,....,Bn

a) Giải thích vì sao S.B1,B2,....,Bn, là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác A1A2...An. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1,B2,....,Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An). (B1B2,....,Bn)

Trả lời: Phương pháp giải:a) Ta chứng minh được rằng các tam giác SA1B1, SA2B2,...., SAnBn đều và có cùng... Xem hướng dẫn giải chi tiết

BÀI TẬP

Bài tập 7.16 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$. Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC} = 30 ^{\circ}$, $AC = a$, $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .Tính số đo nhị diện [S. BC. A]

Trả lời: a) Để chứng minh $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$:- Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AB$... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7.17 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng $(ACC'A') \perp (BDD'B')$

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat{COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C'].

Trả lời: a) Để tính độ dài đường chéo của hình lập phương, ta áp dụng công thức cạnh đường chéo của hình lập... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7.18 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng $(BDD'B') \perp (ABCD)$.

b) Xác định hình chiếu của $AC'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

c) Cho $AB = a$,$BC=b$,$CC' =c$ . Tính $AC'$.

Trả lời: a) Phương pháp giải:Ta có $BD // B'D'$ và $BD'=BD$, suy ra $BDD'B'$ là hình bình hành. Hơn nữa, $BD... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7.19 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Trả lời: Để giải câu hỏi trên, ta cần làm như sau:a) Ta có $SA = SB = SC = \sqrt{a^2 +... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7.20 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm Blá 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Trả lời: a) Phương pháp giải:Góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà là góc giữa hai... Xem hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 7.21 trang 53 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$ Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời: Để giải bài toán này, ta có mối quan hệ giữa độ dốc và góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng nằm... Xem hướng dẫn giải chi tiết
FREE học Tiếng Anh
0.53124 sec| 2329.094 kb