Bài tập 4.5 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho hình ABCD (AB // DC). Một...
Câu hỏi:
Bài tập 4.5 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:
Cho hình ABCD (AB // DC). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AD, AC, BC theo thứ tự tại M, I, N. Chứng minh rằng:
a, $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$
b, $\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=1$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Việt
Để chứng minh phần a, ta có:Xét tam giác ADC và MI // DC, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AM}{MD}=\frac{AI}{IC}$Xét tam giác ABC và IN // AB, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AI}{IC}=\frac{BN}{NC}$Từ hai phương trình trên, ta suy ra: $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$Để chứng minh phần b, ta cũng dùng định lí Thalès:Xét tam giác ADC và MI // DC, ta có: $\frac{AM}{MD}=\frac{AI}{AC}$Xét tam giác ABC và IN // AB, ta có: $\frac{CN}{CB}=\frac{CI}{CA}$Khi đó: $\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=\frac{AI}{AC}+\frac{CI}{CA}=\frac{AI+CI}{CA}=\frac{AC}{CA}=1$Vậy, hai phần a và b đã được chứng minh đúng.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 4.1 trang 47 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng...
- Bài tập 4.2 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Tìm độ dài x trong các hình...
- Bài tập 4.3 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Tìm độ dài x trong Hình 5.5:
- Bài tập 4.4 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho Hình 5.6. Chứng minh rằng...
- Bài tập 4.6 trang 48 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho hình bình hành ABCD có M, N...
Từ $MD = DC - MC$ và $NC = AC - AN$, ta có: $ rac{AM}{AD}= rac{DC-MC}{DC}$ và $ rac{CN}{CB}= rac{AC-AN}{AC}$. Từ hai phương trình trên, ta có: $ rac{AM}{AD}+ rac{CN}{CB}= rac{DC-MC}{DC}+ rac{AC-AN}{AC}=1$.
Xét tam giác BNC và tam giác BAC, ta có: BN // AC (do đường song song với hai đáy), NC // AD (do AB // DC), và góc BNC = góc BAC (cùng là góc nội tiếp trên cùng một cạnh), nên theo định lí Euclid, ta có: $ rac{BN}{NC}= rac{AB}{AC}$.
Xét tam giác AMD và tam giác ADC, ta có: AM // DC (do đường song song với hai đáy), MD // BC (do AB // DC), và góc AMD = góc ADC (cùng là góc nội tiếp trên cùng một cạnh), nên theo định lí Euclid, ta có: $ rac{AM}{AD}= rac{MD}{DC}$.
Xét tam giác AMD và tam giác CBN, ta có: AM // BN (do đường song song với hai đáy), MD // NC (do AB // DC), và góc AMD = góc CBN (cùng là góc nội tiếp trên cùng một cạnh), nên theo định lí Euclid, ta có: $ rac{AM}{MD}= rac{BN}{NC}$.
Gọi Q là giao điểm của BD và MN. Ta có MQ // BC, NQ // AB, do đó ta có MQ/QD = AB/BC và NQ/QC = AB/AD. Từ đó, suy ra MQ = AM và NQ = BN, từ đó ta có MQ/QD = AM/MD = AB/BC và NQ/QC = BN/NC = AB/AD.