Bài tập 51 trang 81 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho điểm O nằm ngoài tam giác...

Để giải bài toán trên, ta có thể áp dụng các kiến thức sau:

a) Để chứng minh rằng tam giác M’N’P’ đồng dạng phối cảnh với tam giác MNP, ta sẽ chứng minh rằng tỉ số giữa cạnh và góc của hai tam giác này là bằng nhau.

Gọi $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là các góc của tam giác MNP tại các đỉa M, N, P;

$\alpha', \beta', \gamma'$ lần lượt là các góc của tam giác M'N'P' tại các đỉa M', N', P';

$\frac{OM'}{OM} = \frac{ON'}{ON} = \frac{OP'}{OP} = \frac{5}{3}$.

Ta có $\angle M'ON' = \alpha' + \beta'$, $\angle MOP = \alpha + \beta$.

Do tỉ số giữa cạnh và góc là bằng nhau, ta có $sin(\alpha' + \beta') = sin(\alpha + \beta) \Rightarrow sin\alpha'cos\beta' + cos\alpha'sin\beta' = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta \Rightarrow sin\alpha' = sin\alpha, sin\beta' = sin\beta$.

Tương tự, ta cũng có $sin\beta' = sin\beta, sin\gamma' = sin\gamma$.

Do đó, tam giác M’N’P’ đồng dạng phối cảnh với tam giác MNP và O là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Gọi K là điểm trên đường trung bình MP của tam giác MOP.

Ta có: $\frac{OK}{OM} = \frac{1}{2}, \frac{OH}{OP} = \frac{1}{2}$.

Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OK, OH.

Khi đó, ta có: $\frac{OA}{OM} = \frac{1}{2}, \frac{OB}{OP} = \frac{1}{2}$.

Do đó, hai đoạn thẳng AB và MP đồng dạng phối cảnh, điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh và $\frac{OA}{OM} = \frac{OB}{OP} = \frac{1}{4}$.