Bài tập 2 trang 85 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CD: Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn...

{
"answer1": "Để chứng minh $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$, ta sử dụng định lý sin trong tam giác. Theo định lý sin trong tam giác ta có: $\frac{AB}{\sin{\widehat{C}}}=\frac{BC}{\sin{\widehat{A}}}=\frac{CA}{\sin{\widehat{B}}}$ và $\frac{PM}{\sin{\widehat{N}}}=\frac{MN}{\sin{\widehat{P}}}=\frac{NP}{\sin{\widehat{M}}}$. Do đó, ta chỉ cần chứng minh $\sin{\widehat{A}} = \sin{\widehat{P}}$, $\sin{\widehat{B}} = \sin{\widehat{M}}$ và $\sin{\widehat{C}} = \sin{\widehat{N}}$. Sau khi chứng minh được các đẳng sin, ta sẽ suy ra được kết luận cần chứng minh.",
"answer2": "Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MN và AC. Khi đó, ta có $\widehat{MIN} = \widehat{A}$ và $\widehat{AIM}=\widehat{M}$. Do đó, tam giác AIM và MIN bằng nhau (cân, cạnh). Tương tự, ta chứng minh được tam giác PIN và CIB bằng nhau. Từ đó, suy ra $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$.",
"answer3": "Xét tam giác ABC và tam giác PMN, ta có $\frac{AB}{PM}=\frac{\sin{\widehat{B}}}{\sin{\widehat{N}}}=\frac{\sin{80^\circ}}{\sin{30^\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Tương tự, ta cũng có $\frac{BC}{MN}=\frac{\sin{\widehat{C}}}{\sin{\widehat{P}}}=\frac{\sin{70^\circ}}{\sin{80^\circ}}=\frac{\sin{70^\circ}}{\sin{100^\circ}}$ và $\frac{CA}{NP}=\frac{\sin{\widehat{A}}}{\sin{\widehat{M}}}=\frac{\sin{80^\circ}}{\sin{80^\circ}}=1$. Kết hợp các biểu thức trên ta có $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$."
}