Bài tập2. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:a) f(x) = $-7x^{2} + 44x - 45$; ...

Để xác định dấu của các hàm số trên, ta cần tìm đến điểm cực trị của các hàm số đó. Để tìm điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0.

a) f(x) = -7x^2 + 44x - 45
f'(x) = -14x + 44
-14x + 44 = 0
x = 44/14 = 22/7 ≈ 3.14
Xét dấu của f(x) trong các khoảng:
- ∞ < x < 22/7: f'(x) < 0 => f(x) giảm
22/7 < x < ∞: f'(x) > 0 => f(x) tăng
Suy ra: f(x) dương trong khoảng (9/7; 5), âm trong hai khoảng (-∞; 9/7) và (5; +∞).

b) f(x) = 4x^2 + 36x + 81
f'(x) = 8x + 36
8x + 36 = 0
x = -36/8 = -9/2
Để xác định dấu của f(x) trong toàn bộ miền xác định, ta thấy rằng f(x) luôn lớn hơn hoặc bằng 81 nên luôn là số dương.

c) f(x) = 9x^2 - 6x + 3
f'(x) = 18x - 6
18x - 6 = 0
x = 6/18 = 1/3
Do hệ số hạng bậc 2 là dương nên f(x) sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 3, tức là luôn dương với mọi x.

d) f(x) = -9x^2 + 30x - 25
f'(x) = -18x + 30
-18x + 30 = 0
x = 30/18 = 5/3 ≈ 1.67
Xét dấu của f(x) trong toàn bộ miền xác định, ta thấy rằng f(x) luôn nhỏ hơn hoặc bằng -25, nên luôn là số âm.

e) f(x) = x^2 - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
2x - 4 = 0
x = 4/2 = 2
Xét dấu của f(x) trong các khoảng:
- ∞ < x < 2: f'(x) < 0 => f(x) giảm
2 < x < ∞: f'(x) > 0 => f(x) tăng
Suy ra: f(x) dương trong khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), âm trong khoảng (1; 3).

g) f(x) = -4x^2 + 8x - 7
Để xác định dấu của f(x), ta thấy rằng hệ số hạng bậc hai là âm nên f(x) sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng -7, tức là luôn là số âm.

Vậy, dấu của các hàm số đã cho là:
a) f(x) dương trong khoảng (9/7; 5), âm trong hai khoảng (-∞; 9/7) và (5; +∞).
b) f(x) dương với mọi x xấp xỉ -9/2.
c) f(x) dương với mọi x thuộc R.
d) f(x) âm với mọi x xấp xỉ 5/3.
e) f(x) dương trong hai khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), âm trong khoảng (1; 3).
g) f(x) âm với mọi x thuộc R.