Bài tập 7. Tìm các giá trị của tham số m để:a) f(x) = $(m - 3)^{2} + 2mx - m$ là một tam thức bậc...

Để giải câu hỏi trên, ta cần xác định điều kiện để các hàm số cho trước thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Để hàm số f(x) = $(m - 3)^{2} + 2mx - m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi x $\in \mathbb{R}$, ta cần điều kiện m - 3 < 0 và $\Delta' < 0$.
- Ta có m - 3 < 0 khi và chỉ khi m < 3.
- $\Delta' = m^{2} +m(m - 3) < 0$ khi và chỉ khi 0 < m < $\frac{3}{2}$.
Vậy điều kiện để a) xảy ra là 0 < m < $\frac{3}{2}$.

b) Để hàm số f(x) = $(m - 2)^{2} + 2(m + 3)x + 5(m - 3)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm, ta cần điều kiện m - 2 ≠ 0 và $\Delta' ≥ 0$.
- Ta có m - 2 ≠ 0 khi và chỉ khi m ≠ 2.
- $\Delta' = (m + 3)^{2} - 5(m - 3)(m - 2) ≥ 0$ khi và chỉ khi -4m^{2} + 31m - 21 ≥ 0.
Tức là $\frac{3}{4} ≤ m ≤ 7$.
Vậy điều kiện để b) xảy ra là $\frac{3}{4} ≤ m ≤ 2$ hoặc $2 < m ≤ 7$.

c) Để phương trình $2x^{2} + (3m - 1)x + 2(m + 1) = 0$ vô nghiệm, ta cần $\Delta = (3m - 1)^{2} - 16(m + 1) < 0$.
Suy ra $9m^{2} - 22m - 15 < 0$.
Tức là $-\frac{5}{9} < m < 3$.
Vậy điều kiện để c) xảy ra là $-\frac{5}{9} < m < 3$.

d) Để bất phương trình $2x^{2} + 2(m - 3)x + 3(m^{2} - 3) ≥ 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần $\Delta' = (m - 3)^{2} - 6(m^{2} - 3) < 0$.
Suy ra $-5m^{2} - 6m + 27 < 0$.
Tức là m < -3 hoặc m > $\frac{9}{5}$.
Vậy điều kiện để d) xảy ra là m < -3 hoặc m > $\frac{9}{5}$.

Như vậy, các giá trị của tham số m để các điều kiện của a), b), c) và d) xảy ra là:
a) 0 < m < $\frac{3}{2}$.
b) $\frac{3}{4} ≤ m ≤ 2$ hoặc $2 < m ≤ 7$.
c) $-\frac{5}{9} < m < 3$.
d) m < -3 hoặc m > $\frac{9}{5}$.