Bài tập 2.6 trang 21 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2....

Để chứng minh $a^2$ chia 3 dư 1 khi a chia 3 dư 2, ta thấy rằng a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4. Với mỗi số tự nhiên k, ta luôn có thể phân tích 9k^2 + 12k thành dạng 3m hoặc 3m+1, nên $a^2$ chia 3 dư 1.

Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Euler: nếu a và m là nguyên tố cùng nhau, thì a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m), với φ(m) là hàm Euler. Áp dụng vào trường hợp trên, a chia 3 dư 2 và 3 là số nguyên tố, nên φ(3) = 2, suy ra a^2 chia 3 dư 1.

Để chứng minh $a^2$ chia 3 dư 1 khi a chia 3 dư 2, ta có thể sử dụng tính chất của số chẵn và số lẻ. Vì a = 3k + 2 là số lẻ, nên a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k) + 4, suy ra $a^2$ chia 3 dư 1.

Ta có thể chứng minh bằng phương pháp giả định ngược: giả sử $a^2$ chia 3 dư 0, tức là a^2 = 3k với k là số nguyên. Khi đó a = √(3k) = 3√k, suy ra a chia 3 dư 0, mâu thuẫn với điều đã cho. Vậy $a^2$ chia 3 dư 1.

Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Fermat: nếu p là số nguyên tố, a là số tự nhiên và a chia p dư r thì a^p chia p dư r^p. Áp dụng vào trường hợp trên, a chia 3 dư 2 và 3 là số nguyên tố, nên $a^2$ chia 3 dư 1.