Vận dụng 2 trang 108 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: (Giải thích nghịch lí Zeno)Để đơn...

Phương pháp giải:

a) Ta biết được rằng để chạy hết quãng đường từ $A_{1}$ đến $A_{2}$ với $A_{1}A_{2} = a = 100$ km, Achilles phải mất thời gian $t_{1} = \frac{100}{100} = 1$ giờ. Với thời gian $t_{1}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{2}A_{3} = 1$ km.

Tiếp theo, để chạy hết quãng đường từ $A_{2}$ đến $A_{3}$ với $A_{2}A_{3} = 1$ km, Achilles phải mất thời gian $t_{2} = \frac{1}{100}$ giờ. Với thời gian $t_{2}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{3}A_{4} = \frac{1}{100}$ km.

Cứ tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_{n}$ đến $A_{n+1}$ với $A_{n}A_{n+1} = \frac{1}{100^{n-2}}$ km, Achilles phải mất thời gian $t_{n} = \frac{1}{100^{n-1}}$ giờ.

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}, ..., A_{n}A_{n+1}, ...$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:
$T = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + ... + \frac{1}{100^{n-1}} + \frac{1}{100^{n}} + ...$

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 1$, công bội $q$ là $\frac{1}{100}$. Dùng công thức tổng của cấp số nhân ta có:
$T = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{100}{99} = 1\frac{1}{99}$ giờ.

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà Achilles bắt kịp được rùa.