Bài tập 5.6 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho tam giác vuông ABC vuông tại...

Để tính độ dài của đường gấp khúc $AA_{1}A_{2}A_{3}...$, ta sẽ sử dụng công thức tổng của cấp số nhân với số hạng tổng quát là $u_{n}=sin\alpha \times h\times (sin\alpha )^{n-1}$.

Đầu tiên, ta tính $AA_{1}$:
Vì $A_{1}A\perp BC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$, nên ta có $\frac{AA_{1}}{AB} = sin\alpha$.
Do đó, $AA_{1} = AB \times sin\alpha = h \times sin\alpha$.

Tiếp theo, ta tính $A_{2}A_{3}$:
Tương tự như trên, ta có $\frac{A_{2}A_{3}}{A_{1}A_{2}} = sin\alpha$.
Vì tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại $A_{1}$, nên $A_{1}A_{2} = AA_{1} = h \times sin\alpha$.
Do đó, $A_{2}A_{3} = A_{1}A_{2} \times sin\alpha = h \times (sin\alpha)^{2}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ thấy rằng $A_{n}A_{n+1} = h \times (sin\alpha)^{n}$.

Vậy, tổng độ dài của đường gấp khúc $AA_{1}A_{2}A_{3}...$ là:
$AA_{1} + A_{2}A_{3} + ... = h \times sin\alpha + h \times (sin\alpha)^{2} + h \times (sin\alpha)^{3} + ... $
$= h \times sin\alpha(1 + (sin\alpha) + (sin\alpha)^{2} + ...)$
Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn với $u_{1} = h \times sin\alpha$, $q = sin\alpha$.
Vậy, ta có:
$AA_{1} + A_{2}A_{3} + ... = \frac{h \times sin\alpha}{1 - sin\alpha}$.

Vậy, độ dài của đường gấp khúc được tạo thành là $\frac{h \times sin\alpha}{1 - sin\alpha}$.