Bài tập 1.33 trang 41 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT:Tìm tập giá trị của các hàm...

a) Phương pháp giải:
Để tìm tập giá trị của hàm số $y=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1$, ta nhận xét rằng giá trị lớn nhất của $\cos k$ là 1 và giá trị nhỏ nhất của $\cos k$ là -1 với mọi $k \in \mathbb{R}$. Do đó, ta có:
$$-1 \leq \cos(2x-\frac{\pi}{3}) \leq 1$$
$$-2 \leq 2\cos(2x-\frac{\pi}{3}) \leq 2$$
$$-2-1 \leq 2\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1 \leq 2-1$$
$$-3 \leq 2\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1 \leq 1$$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1$ là $[-3,1]$.

b) Phương pháp giải:
Để tìm tập giá trị của hàm số $y=\sin x + \cos x$, ta sử dụng công thức hai số học:
$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$$
$$= \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4}\sin x + \sin \frac{\pi}{4}\cos x)$$
$$= \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$
Ta biết rằng giá trị lớn nhất của $\sin k$ là 1 và giá trị nhỏ nhất của $\sin k$ là -1 với mọi $k \in \mathbb{R}$. Do đó, ta có:
$$-1 \leq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1$$
$$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2}$$
$$-\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sin x + \cos x$ là $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.