Bài tập 9.10 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hàm số...

Để chứng minh rằng $\left | f'(x)\leq 6 \right |$ với mọi $x$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(x)=2\sin^{2}(3x-\frac{\pi}{4})$.

Bước 1: Tính đạo hàm của $f(x)$
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[2\sin^{2}(3x-\frac{\pi}{4})\right] = 4\sin(3x-\frac{\pi}{4})\cos(3x-\frac{\pi}{4})\cdot 3$$
$$= 6\sin(6x-\frac{\pi}{2}) = 6\cos(6x)$$

Bước 2: Chứng minh $\left|f'(x)\right|\leq 6$ với mọi $x$
Vì $\left| \cos(6x) \right| \leq 1$ với mọi $x$, nên ta có $$\left|f'(x)\right|=\left|6\cos(6x)\right|\leq 6$$ với mọi $x$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\left | f'(x)\leq 6 \right |$ với mọi $x$.