Bài tập 30 trang 70 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a....

a) Để chứng minh $\Delta KAB$ ᔕ $\Delta KNM$, ta có AB // MN (do AB // DC và KN // DC), từ đó suy ra $\angle KAB = \angle KNM$ và $\angle KBA = \angle KMN$, nên $\Delta KAB$ ᔕ $\Delta KNM$.
Tương tự, từ CE // AD và $\angle CEM = \angle DAM$, ta có $\Delta CEM$ ᔕ $\Delta DAM$; từ DF // BC và $\angle NFD = \angle NBC$, suy ra $\Delta NFD$ ᔕ $\Delta NBC$.

b) Ta có $\Delta CEM$ ᔕ $\Delta BEA$ nên $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}$ (1).
Từ $\Delta NFD$ ᔕ $\Delta BAF$ suy ra $\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}$ (2).
Với CE = AF và BE = DF, từ (1) và (2) ta có $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}$, nên CM.DN = AB$^{2}$.

c) Ta có (CM - DN)$^{2}$ ≥ 0 ⇒ (CM + DN)$^{2}$ ≥ 4CM.DN, hay CM + DN ≥ 2$\sqrt{CM.DN}$ = 2AB.
Vậy MN = DN + CD + CM ≥ 3AB (vì AB = CD).
Do đó, MN có độ dài nhỏ nhất bằng 3AB, và dấu “=” xảy ra khi CM = DN = a, tức E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Vậy là câu trả lời đầy đủ và chi tiết cho bài toán trên.