Bài tập 3.27 trang 42 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Xét tam giác ABC vuông cân tại A....

Để chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh tứ giác là hình vuông thông qua các góc vuông và cạnh bằng nhau. Dưới đây là cách giải:

Bước 1: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A, và lấy hai điểm D và E trên cạnh BC sao cho BD = DE = EC.

Bước 2: Lấy các điểm F trên cạnh AC và G trên cạnh AB sao cho EF vuông góc với BC và GD vuông góc với BC.

Bước 3: Chứng minh rằng tam giác GBD và tam giác EFC là hai tam giác đều, do BD = DE = EC và $\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ$.

Bước 4: Vì tam giác GBD và tam giác EFC là hai tam giác đều nên $\widehat{DGB} = \widehat{EFC} = 45^\circ$.

Bước 5: Ta có $\widehat{B} + \widehat{DGB} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{DGB} = 45^\circ$.

Bước 6: Vì $\widehat{DGB} = \widehat{EFC} = 45^\circ$, GD ⊥ BC và EF ⊥ BC nên GD // EF và GD = EF.

Bước 7: Từ các bước trên, ta có GD // EF, GD = EF nên DEFG là hình chữ nhật.

Bước 8: Vì GD và DE là hai cạnh kề cạnh còn lại của hình chữ nhật DEFG nên DEFG là hình vuông.

Vậy tứ giác DEFG là một hình vuông.