Bài tập 3.22 trang 39 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:1. Sử dụng tính chất tổng các góc...

Phương pháp giải của bài toán như sau:

1.a) Ta có tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Do tam giác ABM cân tại M nên MA = MB. Ta có:
\[\widehat{BAM} + \widehat{MAC} = \widehat{ABM} + \widehat{ACM} = 90^o\]
Khi đó, ta suy ra $\widehat{MAC} = \widehat{ACM}$, từ đó tam giác ACM cân tại M, tức là MA = MC. Vậy MA = MB = MC = \( \frac{1}{2} BC \).

1.b) Ngược lại, nếu có M thuộc BC sao cho MA = MB = MC = \( \frac{1}{2} BC \), ta sẽ chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Gọi P là trung điểm của AP. Khi đó, ta có ABPC là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo BC và AP của hình bình hành là bằng nhau.

2.a) Nếu tam giác ABC vuông tại A, hình bình hành ABPC có góc \( \widehat{BAC} = 90^o \), nên là hình chữ nhật. Dưới đây, chúng ta sẽ chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

2.b) Nếu có M thuộc BC sao cho MA = MB = MC = \( \frac{1}{2} BC \), ta cũng sẽ chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Vậy kết luận chung:
1. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
2. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.

Câu trả lời cho câu hỏi: "Bài tập 3.22 trang 39 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:
1. a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.
2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh a), b) của ý 1."
được giải như sau:
a) Trong tam giác vuông ABC có góc vuông tại A, ta vẽ đường trung tuyến AM từ đỉnh A xuống cạnh BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, khi đó ta có tam giác AMB cân tại M (vì MA = MB). Xét tứ giác ABMC, ta thấy \( \widehat{BAC} = \widehat{BMC} = 90^o \) và MA = MC. Theo định lý Pythagore, ta có AM = \( \frac{1}{2} BC \). Do đó, đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC bằng nửa cạnh huyền AB.

b) Nếu đường trung tuyến AM của tam giác ABC bằng nửa cạnh BC, ta lại xét tỉ lệ AM = \( \frac{1}{2} BC \). Khi đó, ta thấy tứ giác ABMC là hình bình hành (với MC = AB) và AM cắt BC ở trung điểm M. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC có góc vuông tại A.

Vậy, hai phần a) và b) của bài toán đều đã được chứng minh chính xác.