Bài 5 : Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,...

Để chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm, ta có thể giải bằng cách sử dụng định lí về trọng tâm trong tam giác.

Phương pháp 1:
Gọi O1 và O2 lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Ta có:
+ Trong tam giác ABCDEF, ta có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA.
+ Theo định lí về trọng tâm trong tam giác, ta có OM = 1/2 MP, ON = 1/2 NQ, OP = 1/2 PR, OQ = 1/2 QS, OR = 1/2 RS, OS = 1/2 MN.
+ Do đó, ta có O1M = O1O2 + O2S = 1/2 MN + 1/2 QS = 1/2 SN.
+ Tương tự, ta có O1N = O1O2 + O2P = 1/2 PN.
+ Từ đó, ta có O1M = O1N, suy ra trọng tâm O1 của tam giác MPR cùng với trọng tâm O2 của tam giác NQS.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Phương pháp 2:
Gọi I là giao điểm của MQ và PR. Ta sẽ chứng minh rằng I là trọng tâm của cả hai tam giác.

Ta có:
+ Ta có điều cần chứng minh là I là trung điểm của MS và NR.
+ Ta chứng minh MN || RS, MQ || PR, trên đường thẳng nhưng điểm giữa trọng tâm Ta có điều cần chứng minh.
+ Suy ra I là trọng tâm của MPR và NQS.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Do đó, câu trả lời cho câu hỏi là: Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.