Bài 3 : Lấy một điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng:a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ...

a) Để chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$, ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa vị trí của trung điểm.

- Nếu I là trung điểm của AB, tức là $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$.
- Khi đó ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{IB}$.
- Từ đó suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$.

- Ngược lại, nếu $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ thì ta lại được $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$.
- Vậy I là trung điểm của AB.

b) Để chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$, ta cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa vị trí của trọng tâm.

- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, tức là $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}$.
- Khi đó ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{GB}$ và $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{GC}$.
- Từ đó suy ra $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.

- Ngược lại, nếu $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ thì ta lại được $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}$.
- Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.