Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài tập tổng hợp: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong sách "Giải bài tập tổng hợp: Hệ thức lượng trong tam giác vuông" - Sách phát triển năng lực trong môn toán lớp 9 tập 1 trang 85, chúng ta sẽ được hướng dẫn cách giải bài tập và trả lời các câu hỏi liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông. Dưới đây là một số kiến thức cơ bản trong bài học:
- Điền vào chỗ chấm hoàn thành bảng tổng kết kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:
- Hệ thức về cạnh và đường cao: b$^{2}$ = a.b'; c$^{2}$ = a.c'; h$^{2}$ = b'.c'; b.c = a.h;$\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn: sin$\alpha =\frac{đ}{h}$; cos$\alpha =\frac{k}{h}$; tan$\alpha =\frac{đ}{k}$; cot$\alpha =\frac{k}{đ}$
- Hệ thức về cạnh và góc: Biểu diễn mỗi cạnh b, c theo các cạnh, góc còn lại bằng các công thức tương ứng.
- Trong sách, có các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận. Ví dụ:
- Trong hình 5.17, sin Q bằng: D. $\frac{SR}{QR}$
- Trong hình 5.18, tam giác ABC nhọn. Khẳng định nào sau đây là sai? C. AD$^{2}$ = BD.DC
- Cho góc nhọn $\alpha $ thỏa mãn $cos\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$ . Giá trị của sin$\alpha $ bằng: C. $\frac{1}{3}$
- Một cái thang dài 3m, được đặt tạo với mặt đất một góc $60^{0}$. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét? A. 1,5
- Chiều cao của cái cây trong hình 5.20 là bao nhiêu mét? B. $10\sqrt{3}$ + 1,7
Thông qua việc giải bài tập và làm các câu hỏi trong sách, hy vọng học sinh sẽ nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và áp dụng chúng vào thực hành môn toán hiệu quả.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình 5.21)
a, Giả sử AC = 12cm, AB = 10cm. Giải tam giác AHB.
b, Chứng minh:
i. cosC.cosB = $\frac{HB}{BC}$
ii. BC = AB.cosB + AC.CosC
iii. tanB.sinB = $\frac{HC}{AB}$
iv. SABC = $\frac{1}{2}$.AC.BC.sinC = $\frac{1}{2}$.BA.BC.sinB.
v. AB + AC $\leq \sqrt{2}$.BC
vi. $tan\frac{\widehat{ACH}}{2}=\frac{AH}{HC+AC}$
c, Kẻ HE $\perp $ AB, HF $\perp $ AC.
i. Chứng minh AH = EF
ii. Chứng minh AF.AC = HB.HC = AE.AB = AH$^{2}$ = EF$^{2}$.
iii. Chứng minh $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.
iv. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh AO $\perp $ EF.
v. Kẻ ET $\perp $ EF; FS $\perp $ EF (T $\in $ BH; S $\in $ HC). Chứng minh SH = SC = $\frac{1}{2}$HC; TH = TB = $\frac{1}{2}$HB.
vi. Chứng minh SEFST = $\frac{1}{2}$SABC
vii. Qua B kẻ tia Bx $\perp $ AB cắt tia AH tại K, qua C kẻ tia Ay $\perp $ Ac cắt tia AH tại G. Chứng minh HB.HC = HK.GH = AH$^{2}$; HA.HK = BA.BE = BH$^{2}$
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác trong của góc BAC cắt BC tại I.
a, Kẻ phân giác ngoài của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$.
b, Gọi J là điểm cố định thuộc phân giác trong của góc A, đường thẳng d qua J cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi.
c, Kẻ tia Bz và Bài tập lần lượt là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc ABC. Kẻ AN vuông góc với Bài tập, N thuộc Bài tập. Kẻ AM vuông góc với Bz, M thuộc Bz. Chứng minh MN // BC.
3. Cho tam giác ABC có BC = 2a không đổi, điểm A di chuyển sao cho $\widehat{BAC}=90^{0}$.
a, Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.
b, Tìm giá trị lớn nhất của EF.
c, Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.
d, Lấy các điểm M1 $\in $ AB, M2 $\in $ AC; M3, M4 $\in $ BC sao cho M1M2M3M4 là hình chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình M1M2M3M4
4. Bác Lâm có một mảnh vải thừa hình tam giác vuông có kích thước hai cạnh góc vuông lần lượt là 1m và 2,5m. Bác muốn tận dụng cắt ra một miếng vải hình chữ nhật có một cạnh thuộc cạnh huyền của mảnh vải ban đầu. Em hãy giúp bác tìm cách cắt dược mảnh vải hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (Gợi ý: Áp dụng kết quả của bài 3d)