Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)
Giải bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)
Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. Cụ thể, chúng ta sẽ giải các bài tập liên quan đến khử mẫu của biểu thức lấy căn và biểu thức liên hợp chứa căn bậc hai.
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Trong phần này, chúng ta sẽ thực hiện việc khử mẫu của các biểu thức chứa căn bậc hai. Để khử mẫu, chúng ta sử dụng các quy tắc cơ bản sau:
- Với $\frac{-2}{\sqrt{3}}$ ta có: $\frac{-2}{\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$
- Với $\sqrt{\frac{7}{120}}$ ta có: $\sqrt{\frac{7}{120}} = \frac{\sqrt{210}}{60}$
- Với $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ ta có: $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}} = \frac{\sqrt{15xy}}{5y^{3}}$
- Với $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ (với y < 0) ta có: $\frac{2x}{\sqrt{-2y}} = \frac{-x\sqrt{-2y}}{y}$
2. Biểu thức liên hợp chứa căn bậc hai
Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào việc biến đổi biểu thức liên hợp chứa căn bậc hai. Dưới đây là cách giải các ví dụ cụ thể:
- Với $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$ ta có: $\frac{3}{\sqrt{7}+2} = \sqrt{7}-2$
- Với $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ (với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$) ta có: $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b} = 3\sqrt{a}-b$
- Với $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ ta có: $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{2}$
- Với $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ (với $a\geq 0$) ta có: $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}} = \sqrt{a+1}+\sqrt{a}$
Một cách tổng quát
Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq 0$ và A $\neq B^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}$. Đối với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq 0$ và A $\neq B$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.
Để tổng kết, việc biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Hy vọng rằng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn vấn đề này và có thể áp dụng vào các bài tập khác.
Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a, $\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$; b, $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;
c, $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$; d, $\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.
Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a, $\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}$;
b, $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;
c, $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;
d, $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;
e, $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$;
f, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$.
Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;
b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;
c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;
d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;
e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;
f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.
Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Từ đó tính tổng S = $\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$.
Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$
Từ đó tính tổng:
S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.