Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Giải bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong sách "Phát triển năng lực trong môn toán lớp 9" có bài toán về các hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài toán đưa ra các công thức tính tỉ số lượng giác của các góc và cạnh trong tam giác vuông.
Đầu tiên, cho tam giác ABC vuông tại A, với cạnh huyền bằng a và các cạnh góc vuông bằng b, c. Sử dụng các tỉ số lượng giác như sin, cos, tan, cot để tính tỉ số của các góc B và C. Sau đó, biểu diễn mỗi cạnh góc vuông theo cạnh huyền và các tỉ số lượng giác tương ứng.
Công thức cho các tỉ số lượng giác:
sinB = cosC = $\frac{AC}{BC}$
cosB = sinC = $\frac{AB}{BC}$
tanB = cotC = $\frac{AC}{AB}$
tanC = cotB = $\frac{AB}{AC}$
Tiếp theo, định lí về hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông được nêu ra. Cụ thể, trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề. Còn cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề.
Bài toán tiếp theo liên quan đến việc tính góc tạo thành bởi tia sáng mặt trời với mặt đất khi biết chiều cao của cột điện và độ dài bóng. Sau đó, tính chiều cao của cây khi biết độ dài bóng của cây.
Cuối cùng, các bài toán giải tam giác vuông được thực hiện để tìm các cạnh và các góc trong tam giác khi biết trước một số thông tin. Bài toán này gọi là "Giải tam giác vuông" và giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán và logic trong lượng giác.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. Điền Đ (đúng), S (sai) một cách thích hợp tương ứng với các khẳng định ở bảng sau. Với những khẳng định sai, em hãy sửa lại thành khẳng định đúng.
Hình vẽ | Khẳng định | Đúng/Sai | Sửa lại |
| MP = NP.sinN |
|
|
MP = MN.tanP |
|
| |
MN = NP.cosP |
|
| |
MN = MP.cotN |
|
| |
NP = $\frac{MP}{cosN}$ |
|
| |
NP = $\frac{MN}{sinN}$ |
|
|
2. Hai bạn Minh và Tú cùng thả diều. Biết dây diều luôn tạo với phương nằm ngang một góc 50$^{0}$ và khoảng cách từ mặt đất đến tay cầm diều của hai bạn là 1,1m (hình 4.5). Giả sử dây diều được căng thẳng.
a, Bạn Minh thấy cuộn dây diều đã thả dài 45m, hỏi diều của bạn Minh lên cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b, Bạn Tú muốn diều của mình lên cao 30m so với mặt đất thì dây diều phải dài bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
3. Học xong nội dung hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, bạn Bình nói với bạn Nam rằng: sử dụng thước thợ để đo chiều cao của cây ở bài tập 4 (Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) phức tạp quá. Để chọn được vị trí mà Nam đứng ngắm là không dễ dàng. Bình nói rằng, có thể đứng tại vị trí bất kì (nhìn thấy ngọn cây) vẫn xác định được chiều cao của cây chỉ bẳng giác kế và thước dây.
Đứng tại một vị tri Bình đo được số liệu như hình 4.6. Em hãy giải thích xem Bình đã tính được chiều cao của cây bằng cách nào. Chiều cao của cây là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
4. Cho tam giác ABC có BC = 8m, $\widehat{ABC}=45^{0}$; $\widehat{ACB}=80^{0}$
a, Em hãy tính cạnh AB theo ba cách, mỗi cách sử dụng một trong các gợi ý sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Cách 1: Kẻ đường cao CH, tính CH, HB, HA, từ đó tính AB.
Cách 2: Kẻ đường cao BK.
Cách 3: Kẻ đường cao AI.
b, Trong ba cách kẻ thêm đường cao để tính AB, theo em nên chọn cách nào? Vì sao?
c, Em hãy tìm tất cả các góc và cạnh còn lại của tam giác ABC.
5. a, Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.
i, Tính AH theo các cạnh và các góc của tam giác ABC, từ đó chứng minh SABC = $\frac{1}{2}$BC.BA.sinB
ii, Tương tự câu i, tìm công thức tính diện tích tam giác ABC theo góc C, theo góc A.
iii, Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosC
b, Áp dụng kết quả câu a, em hãy chứng minh bài toán sau:
Cho tam giác MNP vuông tại M, đường phân giác góc NMP cắt NP tại E. Chứng minh: $\frac{\sqrt{2}}{ME}=\frac{1}{MN}+\frac{1}{MP}$
(Gợi ý: Sử dụng SMNP = SMNE + SMEP)