Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Phân tích chi tiết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn là một chủ đề quan trọng trong môn toán học. Chúng ta sẽ tìm hiểu ba trường hợp cơ bản khi xét vị trí giữa đường thẳng và đường tròn.
Trường hợp 1: Đường tròn (Q) và đường thẳng m tiếp xúc nhau tại điểm P. Đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q).
Chúng ta cần chứng minh rằng nếu đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q) tại P thì m vuông góc với QP. Bằng cách xem xét tam giác QPR vuông tại R, ta có thể chứng minh điều này.
Trường hợp 2: Đường tròn (Q) và đường thẳng m cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng m là cát tuyến của đường tròn (Q).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này, đường thẳng m cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A và B. Bằng cách áp dụng các định lí về tam giác vuông và hình chiếu, ta có thể tính được độ dài của dây cung AB.
Trường hợp 3: Đường tròn (Q) và đường thẳng m không giao nhau.
Chúng ta cần chứng minh rằng nếu đường tròn (Q) cách đường thẳng m một khoảng lớn hơn bán kính của đường tròn, thì chúng sẽ không giao nhau. Điều này giúp chúng ta xác định tập hợp tâm của các đường tròn có tính chất như đường tròn (Q).
Thông qua việc phân tích và chứng minh các trường hợp trên, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong không gian. Đồng thời, áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học và đại số.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. a, Sau khi vẽ đường thẳng d và đường tròn (O) như hình 4.5 bạn Hiền liền nhận xét: "Đường thẳng d không cắt đường tròn (O) vì khoảng cách từ mọi điểm nằm trên đường tròn đến đường thẳng d đều lớn hơn bán kính". Theo em, nhận xét trên của Hiền đúng hay sai?
b, Nếu nhận xét trên của bạn sai, em hãy sửa lại cho đúng.
2. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a, Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BIC.
b, Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng: $\frac{AI}{AK}=\frac{HI}{HK}$
3. Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn tâm O, đường kính 3 cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên:
A. Đường vuông góc với AB tại A.
B. Đường vuông góc với AB tại B.
C. Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng 1,5cm.
D. Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng 3cm.
Hãy chọn phương án đúng.
4. Cho đường tròn (O), bán kính OM, dây CD là đường trung trực của OM (hình 4.7).
a, Tứ giác OCMD là hình gì? Giải thích câu trả lời của em.
b, Kẻ tiếp tuyến với đường tròn O tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OM tại I. Tính độ dài đoạn thẳng CI, biết OC = $2\sqrt{3}$(cm)
5. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. H là hình chiếu của M trên AB.
Chứng minh rằng:
a, ME = MF
b, AM là tia phân giác của góc BAE.
c, AE = AH
d, MH$^{2}$ = AE.BF