Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một số hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Chúng ta sẽ giải các bài toán và làm rõ những khái niệm cơ bản trong toán học.
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chúng ta cần tìm các tam giác đồng dạng với tam giác ABC. Các tam giác đồng dạng là tam giác HBA và tam giác HCA. Các cặp tam giác đồng dạng với nhau bao gồm: $\Delta ABC\sim \Delta HBA$ (góc-góc), $\Delta ACB\sim \Delta HCA$ (góc-góc), và $\Delta HBA\sim \Delta HAC$ (góc-góc).
2. Trong hình 1.1, chúng ta kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c. Đường cao ứng với cạnh huyền là AH = h, các hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền lần lượt là CH = b', BH = c'. Chúng ta cần tìm các cặp tam giác đồng dạng có chứa các cạnh có độ dài b, a, b'. Từ đó chúng ta chứng minh b$^{2}$ = a.b', c$^{2}$ = a.c', định lí Py-ta-go và hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Cuối cùng, chúng ta tính giá trị x, y trong hình 1.2.
3. Tiếp tục trong hình 1.1, chúng ta tìm cặp tam giác đồng dạng có chứa các cạnh h, b', c'. Từ đó chúng ta chứng minh h$^{2}$ = b'.c', và điền từ thích hợp vào định lí về hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Cuối cùng, chúng ta tính giá trị x, y trong hình 1.3.
4. Trong hình 1.1, chúng ta tính diện tích tam giác ABC theo hai cách và chứng minh hệ thức b.c = a.h. Từ đó, chúng ta điền từ thích hợp vào định lí về hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông. Cuối cùng, chúng ta tính giá trị x, y trong hình 1.4.
5. Trong hình vẽ 1.1, chúng ta sử dụng định lí Py-ta-go và kết quả của các hoạt động trước để biến đổi biểu thức và chứng minh một hệ thức mới. Chúng ta tính giá trị x trong hình 1.5 và điền từ thích hợp vào định lí về hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.
Với sự nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, chúng ta sẽ có thể áp dụng những hệ thức này vào các bài toán thực tế khác trong toán học. Hy vọng rằng bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về tam giác vuông và các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao của nó.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6cm, AC = 8cm (hình 1.6).
a, Em hãy điền vào chỗ chấm để hoàn thành lời giải tìm BH, AH.
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Ta có:
* BC$^{2}$ = ............................ (định lí Py-ta-go)
= ........................ (vì AB = 6cm; AC = 8cm)
=> BC = .............
* AH.BC = ......................... (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
=> AH.BC = ...................... (Vì ................................)
=> AH = ........................
* ........................... = BH.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> ......................... = BH.(.........) (vì ...............................)
=> BH = .................
b, Em hãy tìm thêm các cách khác để tính BH, AH.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Mỗi hình vẽ sau cho biết độ dài của hai trong 6 đoạn AB, AC, BC, HA, HB, HC (hình 1.7). Em hãy tìm độ dài các đoạn thẳng còn lại trong từng hình. Dựa vào cách trình bày của bài 1a, hình trình bày lời giải của em.
3. a, Cho hình 1.8, chứng minh rằng:
$b^{2}-c^{2}=b'^{2}-c'^{2}$; $\left ( \frac{b}{c} \right )^{2}=\frac{b'}{c'}$.
b, Vận dụng kết quả trong câu a giải các bài toán sau:
i. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH, $\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}$, BC = 25. Tính AB, AC, HB, HC, AH.
ii. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH, $\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$, AH = 24. Tính BC, AB, AC, HB, HC.
iii. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$, BC = 125. Tính AB, AC, HB, HC, AH.
iv. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH, $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$, AH = 30. Tính BC, AB, AC, HB, HC.
4. Hình 1.9 là hình ảnh của một chiếc thước thợ (thước của thợ mộc dùng để đo góc vuông).
Làm thế nào để "đo" chiều cao của một cái cây bằng một chiếc thước thợ?
Em hãy đọc nội dung sau và cùng làm với Nam nhé.
Bạn Nam đã chọn được vị trí mà tại đó bạn ngắm dọc theo một cạnh của thước thì thẳng tới gốc cây, còn ngắm dọc theo cạnh kia thì thẳng tới ngọn cây (hình 1.10).
Bạn đo được khoảng cách từ vị trí đứng đến gốc cây là 2,55m, khoảng cách từ mắt bạn đến mặt đất là 1,52m.
a, Coi các vị trí: gốc cây, ngọn cây, mắt nhìn, vị trí đứng là các điểm. Em hãy đặt tên cho các điểm đó và chuyển nội dung bài toán đo chiều cao của cây thành bài tập hình học.
b, Ta thấy vị trí mắt nhìn với gốc cây và đỉnh ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Em hãy thiết lập công thức tính chiều cao của cây theo các yếu tố đã biết.
c, Hãy sử dụng máy tính bỏ túi để tính chiều cao của cây theo đơn vị mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
5. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH. Kẻ HM $\perp $ AB tại M, HN $\perp $ AC tại N. Chứng minh:
a, AM.AB = AN.AC = HB.HC
b, AM.AB + AN.AC = 2.MN$^{2}$
c, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BM}{CN}$
d, AM.BM + AN.CN = AH$^{2}$
e, HM.AB + HN.AC = AB.AC
f, $\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$
g, MN$^{3}$ = BC.BM.CN