Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Giải bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Trong sách "Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9", bài 8 yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Hãy cùng đi vào chi tiết của bài toán này.
1. Cho biểu thức:
$$P = \left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$$
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b, Tính giá trị của P khi \(x = 7-4\sqrt{3}\)
c, Tìm tất cả các giá trị của x để \(P\geq \frac{2}{3}\)
Để giải bài toán này, ta cần xác định điều kiện x của biểu thức P, sau đó thực hiện rút gọn và tính toán giá trị cụ thể của P.
2. Cho hai biểu thức:
$$A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$$ và $$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$$
a, Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 81\)
b, Chứng minh rằng $$P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$$
c, So sánh P và \(P^{2}\)
Chúng ta tiếp tục phân tích chi tiết từng phần của bài toán, đưa ra các bước giải thích cụ thể và dễ hiểu để đạt được kết quả chính xác.
3. Cho hai biểu thức:
$$A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$$ và $$B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$$
a, Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 9\)
b, Chứng minh \(B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}\)
c, Tìm tất cả giá trị của x để \(A = B.|x - 4|\)
Bằng cách phân tích và giải quyết từng phần trong bài toán, chúng ta sẽ đạt được giải pháp cho các vấn đề được đề cập. Hãy tiếp tục giải bài toán một cách tỉ mỉ và chính xác.
Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 33 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
a, Cho biểu thức M = $\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $x\geq 0,x\neq 4$. Tìm x để M = 2.
b, Rút gọn biểu thức P = $\frac{2}{\sqrt{x}-2}:(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2})$ với $x\geq 0,x\neq 4$.
c, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Câu 2: Trang 33 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Cho biểu thức P = $(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1)$ với $x\geq 0,x\neq 9$
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: Trang 33 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Cho biểu thức P = $(\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}):(1+\frac{2}{\sqrt{x}})$ với x > 0.
a, Rút gọn P.
b, Tính giá trị của P biết $x = 2019 - 2\sqrt{2018}$
Câu 4: Trang 34 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Với a, b là những số thực dương thỏa mãn ab + a+ b = 1. Chứng minh rằng
$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})}}$
Câu 5: Trang 34 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Cho biểu thức:
P = $(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^{2}}-1+a})(\sqrt{\frac{1}{a^{2}}-1}-\frac{1}{a})$ với 0 < a < 1
Chứng minh rằng P = -1
Câu 6: Trang 34 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Rút gọn biểu thức:
A = $(\frac{3x\sqrt{x}+8x-5}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-2):(\sqrt{x}+1)$
Câu 7: Trang 34 sách phát triển năng lực toán lớp 9 tập 1
Cho biểu thức:
P = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b}{a-b})$ với $a>0,b>0,a\neq b,a+b\neq a^{2}$
a, Chứng minh P = a - b
b, Tìm a, b biết rằng P = 1 và a$^{3}$ - b$^{3}$ = 7