Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Giải bài tập phát triển năng lực toán lớp 9 bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trong bài toán này, chúng ta sẽ tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường tròn. Có ba trường hợp chính khi xét vị trí của hai đường tròn:
1. Hai đường tròn cắt nhau: Trong trường hợp này, hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Chúng ta có thể vẽ đường thẳng nối hai tâm của hai đường tròn và chứng minh được rằng đường này chứa đường kính của cả hai đường tròn.
2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau: Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm của hai đường tròn nằm trên đường nối hai tâm của chúng.
3. Hai đường tròn không giao nhau: Trong trường hợp này, không có điểm nào chung giữa hai đường tròn. Chúng ta cần xác định vị trí của đường nối hai tâm so với bán kính của hai đường tròn để đưa ra kết luận về vị trí tương đối của chúng.
Bên cạnh đó, chúng ta còn tìm hiểu về hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính trong các trường hợp khác nhau. Tiếp theo, chúng ta xem xét về tiếp tuyến chung của hai đường tròn, trong đó có các trường hợp khi có 4, 3 hoặc 2 tiếp tuyến chung.
Qua bài toán này, chúng ta hi vọng học sinh sẽ nắm vững kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn và cách giải các bài toán liên quan đến chúng một cách chi tiết và dễ hiểu.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. Ở hình 7.5, các điểm L, Q, N và P đều là các tiếp điểm của đường tròn (C) và (D). Biết rằng LM = 7 và MP = 5,5. Tìm độ dài các đoạn thẳng LQ và NP.
2. Phần lớn các đĩa nhạc CD hiện nay đều có ba đường tròn đồng tâm. Đường tròn thứ nhất là lỗ hổng ở giữa đĩa với đường kính AB = 2,5cm. Đường tròn thứ hai là phần viền nhựa đen không có chức năng lưu trữ dữ liệu với đường kính CD = 4cm. Đường tròn thứ ba là viền của chiếc đĩa nhạc có đường kính EF = 12cm (hình 7.6).
a, Tính bán kính của mỗi đường tròn.
b, Tính độ rộng hình vành khăn có chức năng lưu trữ dữ liệ của chiếc đĩa.
3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với điểm B và C lần lượt nằm trên đường tròn (O) và (O') (hình 7.7).
a, Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
b, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
c, Tính độ dài đoạn BC theo R và r.
d, Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O (D không trùng với A). Chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng.
e, Gọi E là giao điểm của BA với đường tròn (O'). Chứng minh rằng CE song song với BD.
f, Chứng minh rằng ba đường thẳng BC, DE và OO' đồng quy tại một điểm.
g, Tinhs dộ dài đoạn BA và CA biết R = 9cm, r = 7cm.
4. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn. Qua A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại D và cắt đường tròn (O') tại E. Gọi I là giao điểm của AB và OO'.
a, Chứng minh rằng I là trung điểm của AB.
b, Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi.
c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và O' trên DE. Chứng minh rằng tam giác HIK cân tại I.
d, Chứng minh rằng HI = $\frac{BD}{2}$
e, Chứng minh rằng tam giác BDE cân tại B.
5. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD với A, C thuộc (O) và B, D thuộc (O') (hình 7.9).
a, Chứng minh rằng AB và CD đối xứng với nhau qua OO'.
b, Tiếp tuyến chung trong GH cắt AB và CD theo thứ tự tại E và F với G thuộc (O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng AE = EG và EB = EH.
c, Chứng minh rằng EG = FH, AB = EF.