2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác trong của góc BAC cắt BC tại I.a, Kẻ phân...
Câu hỏi:
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác trong của góc BAC cắt BC tại I.
a, Kẻ phân giác ngoài của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$.
b, Gọi J là điểm cố định thuộc phân giác trong của góc A, đường thẳng d qua J cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi.
c, Kẻ tia Bz và Bài tập lần lượt là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc ABC. Kẻ AN vuông góc với Bài tập, N thuộc Bài tập. Kẻ AM vuông góc với Bz, M thuộc Bz. Chứng minh MN // BC.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Đức
Phương pháp giải:a, Để chứng minh $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$, ta sử dụng định lí hình học về phân giác trong và ngoại của 1 góc. Ta biết được AI là phân giác trong của góc A nên $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=45^{0}$ và AD là phân giác ngoại của góc A suy ra $\widehat{DAB}=45^{0}$. từ đó ta chứng minh được phương trình cần đề giải như trên.b, Để chứng minh $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi, ta cũng sử dụng cách chứng minh tương tự như phần a.c, Để chứng minh MN // BC, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các phân giác của góc trong tam giác. Câu trả lời cho câu hỏi trên là:a, $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$b, $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổic, MN // BC.
Câu hỏi liên quan:
a. Ta có $\frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} = \frac{AC-AB}{AB \cdot AC}$.\nTa cũng có $\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AD}$ nên $\frac{AC-AB}{AB \cdot AC} = \frac{AB}{AD \cdot AB} = \frac{CB}{AD \cdot AB} = \frac{1}{AD}$.\nNhư vậy $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right | = \frac{\sqrt{2}}{AD}$.
c. Gọi $E$ là giao điểm của $MA$ và $NZ$.\nKhi đó, $\angle ENB = \angle EAM = \angle ABC$ và $\angle ENA = \angle EAN = \angle ACB$.\nDo đó, ta có $\angle ENB = \angle ANM$, suy ra $MN // BC$.
b. Ta có $\frac{1}{AP} + \frac{1}{AQ} = \frac{AQ + AP}{AP \cdot AQ}$.\nTa có $\frac{AQ}{QJ} = \frac{AP}{PJ}$ nên $AQ + AP = QJ + PJ$.\nVậy $\frac{1}{AP} + \frac{1}{AQ}$ không đổi.
a. Ta có $\frac{1}{AB} - \frac{1}{AC} = \frac{AC-AB}{AB \cdot AC}$.\nBiết $\frac{AC}{AD} = \frac{AC}{AB}$ nên $\frac{AC-AB}{AB \cdot AC} = \frac{AC-AB}{AD \cdot AB} = \frac{CB}{AD \cdot AB} = \frac{1}{AD}$.\nVậy $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right | = \frac{\sqrt{2}}{AD}$.