Bài 4 : Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

a) Phương pháp giải:
Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = $\frac{1}{-x - 5}$, ta cần xác định điểm phân biệt của hàm số. Điểm phân biệt của hàm số là nơi mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.

Đạo hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{-x - 5}$ là f'(x) = $\frac{1}{(-x - 5)^2}$. Để xác định điểm phân biệt của hàm số, ta giải phương trình f'(x) = 0:
$\frac{1}{(-x - 5)^2} = 0$
Không có x nào thỏa mãn phương trình trên, do đó hàm số không có điểm phân biệt.

Vì không có điểm phân biệt nên hàm số sẽ là đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là f(x) là hàm đồng biến trên (-∞; +∞).

b) Phương pháp giải:
Ta cần tách hàm số f(x) = |3x – 1| thành 2 trường hợp để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của nó.

Khi x ≥ $\frac{1}{3}$:
f(x) = 3x - 1
Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của f(x) = 3x - 1, ta xét đạo hàm của hàm số đó:
f'(x) = 3

Vì đạo hàm f'(x) = 3 luôn dương trên miền x ≥ $\frac{1}{3}$, nên hàm số f(x) = 3x - 1 là hàm đồng biến trên miền x ≥ $\frac{1}{3}$.

Khi x < $\frac{1}{3}$:
f(x) = -3x + 1
Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của f(x) = -3x + 1, ta xét đạo hàm của hàm số đó:
f'(x) = -3

Vì đạo hàm f'(x) = -3 luôn âm trên miền x < $\frac{1}{3}$, nên hàm số f(x) = -3x + 1 là hàm nghịch biến trên miền x < $\frac{1}{3}$.

Kết luận:
Hàm số f(x) = |3x – 1| nghịch biến trên khoảng (-∞; 1/3) và đồng biến trên khoảng (1/3; +∞).