3.Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$+ bx + c với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và...

a) Để xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x), ta sử dụng thông tin đã cho. Với đỉnh là I(1; 4), ta có phương trình parabol là $y = a(x – 1)^{2}+ 4$. Với điểm A(2; 3) thuộc parabol, ta thay x = 2, y = 3 vào phương trình đã cho để tìm a. Ta có:
$3 = a(2 – 1)^{2}+ 4$
$⇔ 3 = a + 4$
$⇔ a = -1.$
Vậy tam thức bậc hai cần tìm là $f(x) = -(x – 1)^{2}+ 4$ hoặc $f(x) = -x^{2} + 2x + 3$. Từ đó, ta có a = -1; b = 2; c = 3.

b) Với a = -1 < 0, parabol sẽ quay bề lõm xuống dưới. Đỉnh parabol là I(1; 4). Trục đối xứng x = 1 và hệ số tự do c = 4.
Điểm A(2; 3) thuộc parabol nên vẽ parabol đi qua các điểm: I(1; 4), A(2; 3), trục Oy (0; 3) và giao điểm với trục Ox là (-1; 0) và (3; 0).

c) Từ đồ thị, ta thấy:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
- Tập giá trị của hàm số là (-∞; 4].

d) Để giải bất phương trình $\frac{f(x)}{x-2}\geq0$, ta chuyển về dạng $-(x^{2}+2x+3) ≥ 0$ hoặc $-x^{2}+2x+3 ≥ 0$.
Tam thức $f(x) = -x^{2}+2x+3$ có $∆' = 12 – (-1) \times 3 = 4 > 0$ và a = -1 < 0, nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 và x2 = 3.
Do đó, f(x) > 0 với mọi x thuộc (-1; 3) và f(x) < 0 với mọi x không thuộc khoảng (-1; 3).
Xây dựng bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; -1] ∪ (2; 3].