14.Cho đường thẳng ∆: 3x + 4y – 25 = 0. Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với ∆.a) Viết...

a) Để tìm phương trình của đường tròn (C), ta cần xác định tọa độ tâm O và bán kính R của đường tròn. Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆, nên bán kính R bằng khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng ∆.

- Đường thẳng ∆ có phương trình 3x + 4y - 25 = 0. Ta có vector pháp tuyến của ∆ là $\vec{n_{\Delta}} = (3, 4)$.
- Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 tính bằng công thức: d = $\frac{|Ax0 + By0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
- Áp dụng vào trường hợp này, ta có d(O, ∆) = $\frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5$.
- Tâm O có tọa độ (0, 0), bán kính R = 5. Do đó, phương trình đường tròn (C) là: $x^2 + y^2 = 25$.

b) Để tìm tọa độ tiếp điểm H của đường tròn và đường thẳng ∆, ta cần tìm phương trình đường thẳng qua tâm O và vuông góc với ∆ để xác định vị trí của tiếp điểm H.

- Vector pháp tuyến của đường thẳng qua O và vuông góc với ∆ là $\vec{n_{OH}} = (4, -3)$.
- Phương trình của đường thẳng OH là: 4(x-0) - 3(y-0) = 0 hoặc 4x - 3y = 0.
- Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ và OH, ta giải hệ phương trình: $\begin{cases}3x + 4y - 25 = 0\\4x - 3y = 0\end{cases}$. Giải hệ phương trình ta được tọa độ của tiếp điểm H là H(3, 4).

Vậy phương trình đường tròn (C) là $x^2 + y^2 = 25$ và tọa độ tiếp điểm H của đường tròn và đường thẳng là (3, 4).