Câu 3: Trang 16 sách VNEN 9 tập 1Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Chứng minh:a)...

a) Để chứng minh rằng trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất, ta giả sử chu vi của hai hình chữ nhật là cố định k. Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là a và b (a > 0, b > 0).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b, ta có:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Kết hợp với điều kiện là chu vi không đổi, ta được:
$(\frac{k}{4})^{2} \geq a\cdot b$

Diện tích hình chữ nhật lớn nhất sẽ là khi a = b. Do đó, hình chữ nhật đó chính là hình vuông.

Vậy, trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Để chứng minh rằng trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất, ta giả sử diện tích của hai hình chữ nhật là cố định m. Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là a và b (a > 0, b > 0).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b, ta có:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Kết hợp với điều kiện là diện tích không đổi, ta được:
$2(a + b) \geq 4\sqrt{m}$

Chu vi hình chữ nhật bé nhất sẽ là khi a = b. Do đó, hình chữ nhật đó chính là hình vuông.

Vậy, trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi bé nhất.