Bài tập 4.45 trang 103 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT:Cho hình hộp...

a) Để chứng minh rằng BD//B′D′, (A′BD)//(CB′D′) và MN//(BDD′B′), ta thực hiện các bước sau:
- Vì hình hộp ABCD⋅A′B′C′D′ là hình hộp, nên ta có A′B′//AB, A′D′//AD, B′C′//BC,...
- Gọi I là giao điểm của B′D′ và CD. Khi đó, ta có tứ giác A′B′DC′ là tứ giác lồi.
- Ta có A′D′//AD và B′D′//CD nên B′D′//AD.
- Tương tự, ta có (A′BD)//(CB′D′), BD//B′D′.
- Gọi O là trung điểm của D′D. Ta có M là trung điểm của AD, N là trung điểm của A′B′. Vậy ta có MN//B′D′, MN//B′D′.
- Từ đó, ta chứng minh được rằng BD//B′D′, (A′BD)//(CB′D′) và MN//(BDD′B′).

b) Để chứng minh đường thẳng AC′ đi qua trọng tâm G của tam giác A′BD, ta thực hiện các bước sau:
- Gọi G là trọng tâm của tam giác A′BD. Trọng tâm G chia đoạn thẳng từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện làm tỷ lệ 2:1.
- Khi đó, ta có A'G = 2GO, với O là trung điểm của BD.
- Vậy ta suy ra AC′ đi qua trọng tâm G của tam giác A′BD.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của câu hỏi trên.