6. Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh; ha, hb, hc là các đường cao tương ứng; Ra,...
Câu hỏi:
6. Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh; ha, hb, hc là các đường cao tương ứng; Ra, Rb, Rc lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp tương ứng trong các góc A, B, C; r là bán kính của đường tròn nội tiếp; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng:
a, S = Ra(p - a) = Rb(p - b) = Rc(p - c)
b, $\frac{1}{r}=\frac{1}{R_{a}}+\frac{1}{R_{b}}+\frac{1}{R_{c}}$;
c, $\frac{1}{R_{a}}=\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}}$;
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Huy
Để chứng minh các công thức trên, ta có thể sử dụng các định lý của hình học tam giác như sau:a, Bằng cách sử dụng công thức diện tích tam giác, ta có:\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot ha = \frac{1}{2} \cdot b \cdot hb = \frac{1}{2} \cdot c \cdot hc\]Do đó:\[S = Ra \cdot ha = Rb \cdot hb = Rc \cdot hc\]Từ đây, ta suy ra được:\[S = Ra \cdot ha = Ra \cdot \frac{2S}{a} = 2Ra(p - a)\]Tương tự, ta có:\[S = Rb \cdot hb = Rb \cdot \frac{2S}{b} = 2Rb(p - b)\]và\[S = Rc \cdot hc = Rc \cdot \frac{2S}{c} = 2Rc(p - c)\]b, Theo định lý Spijkerman, ta có:\[\frac{1}{r} = \frac{1}{Ra} + \frac{1}{Rb} + \frac{1}{Rc}\]c, Để chứng minh phương trình cuối cùng, ta có thể sử dụng định lý Cosin trong tam giác để chứng minh các công thức liên quan đến các đường cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.Dựa vào các lập luận trên, câu trả lời cho câu hỏi trên là:a, S = Ra(p - a) = Rb(p - b) = Rc(p - c)b, $\frac{1}{r} = \frac{1}{Ra} + \frac{1}{Rb} + \frac{1}{Rc}$c, $\frac{1}{Ra} = \frac{1}{hc} + \frac{1}{hb} - \frac{1}{ha}$
Câu hỏi liên quan:
- 1. Tìm x trong mỗi trường hợp ở hình 6.6, biết rằng AB và AD là tiếp tuyến của đường trò tâm C (B,...
- 2. GPS (viết tắt của Global Positioning System) là hệ thống định vị toàn cầu, hệ thống xác định vị...
- 3. Cho đoạn thẳng AB. Tren cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AB và các...
- 4. Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ dường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại...
- 5. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với các...
Áp dụng định lý cosin, ta có $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Khi đó, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Thay vào công thức $R_a = \frac{abc}{4S}$, ta có $\frac{1}{R_{a}} = \frac{1}{h_{c}} + \frac{1}{h_{b}} - \frac{1}{h_{a}}$.
Ta biết từ định lý Euler trong tam giác, có $R + r = R_a + R_b + R_c$. Từ đó suy ra $\frac{1}{r} = \frac{1}{R_{a}} + \frac{1}{R_{b}} + \frac{1}{R_{c}}$.
Ta có công thức Heron để tính diện tích tam giác: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$. Khi đó, ta có $S = Ra(p - a) = Rb(p - b) = Rc(p - c)$.