Câu 8: Trang 34sách VNEN 9 tập 1Cho biểu thức: P =$\left ( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1...
Câu hỏi:
Câu 8: Trang 34 sách VNEN 9 tập 1
Cho biểu thức: P = $\left ( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} \right )$ : $\left (\frac{x + y + 2xy}{1 - xy} + 1 \right )$
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P tại x = $\frac{2}{2 + \sqrt{3}}$.
c) Chứng minh: P $\leq $ 1.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Ánh
a) Để rút gọn biểu thức P, ta có thể thực hiện các bước sau:P = $\left ( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} \right )$ : $\left (\frac{x + y + 2xy}{1 - xy} + 1 \right )$= $\left ( \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(1 - \sqrt{xy})}{(1 + \sqrt{xy})(1 - \sqrt{xy})} + \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(1 + \sqrt{xy})}{(1 - \sqrt{xy})(1 + \sqrt{xy})} \right )$ : $\frac{x + y + 2xy + 1 - xy}{1 - xy}$= $\left ( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y} - x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{(1 + \sqrt{xy})(1 - \sqrt{xy})} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{(1 - \sqrt{xy})(1 + \sqrt{xy})} \right )$ : $\frac{x + y + xy + 1}{1 - xy}$= $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y} - x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{y} + x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{(1 + \sqrt{xy})(1 - \sqrt{xy})}$ : $\frac{x + y + xy + 1}{1 - xy}$= $\frac{2\sqrt{x} + 2y\sqrt{x}}{1 - xy}$.$\frac{1 - xy}{(x + 1)(y+ 1)}$= $\frac{2\sqrt{x}(1 + y)}{1 - xy}$.$\frac{1 - xy}{(x + 1)(y+ 1)}$= $\frac{2\sqrt{x}}{x + 1}$b) Để tính giá trị của P tại x = $\frac{2}{2 + \sqrt{3}}$, ta thực hiện các phép tính sau:x = $\frac{2}{2 + \sqrt{3}}$ = $\frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$ = $\frac{2(2 - \sqrt{3})}{4 - 3}$ = 4 - 2$\sqrt{3}$ = $(\sqrt{3} - 1)^{2}$$\Rightarrow $ $\sqrt{x}$ = $\sqrt{3}$ - 1Suy ra P = $\frac{2\sqrt{x}}{x + 1}$ = $\frac{2(\sqrt{3} - 1)}{4 - 2\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{2 + 6\sqrt{3}}{13}$c) Để chứng minh P $\leq$ 1, ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si:x + 1 $\geq$ 2$\sqrt{x}$ $\Rightarrow $ P = $\frac{2\sqrt{x}}{x + 1}$ $\leq $ $\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ = 1. Dấu bằng xảy ra khi x = 1Vậy P $\leq$ 1.
Câu hỏi liên quan:
- Câu 1: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Kết quả nào sau đây đúng?A.$\sqrt{\frac{6}{(- 5)^{2}}}$ =...
- Câu 2: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Rút gọn biểu thức$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ + $\sqrt{3 +...
- Câu 3: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Khẳng định nào sau đây là đúng?A.$\sqrt{100 + x}$ có nghĩa...
- Câu 4: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Thực hiện phép tính:a)$\left ( \sqrt{\frac{9}{2}} +...
- Câu 5: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Giải phương trình:a) $\frac{1}{2}$$\sqrt{x - 2}$ -...
- Câu 6: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Chứng minh đẳng thức:a) $\frac{5}{4 - \sqrt{11}}$ + $\frac{1}{3 +...
- Câu 7: Trang 33 sách VNEN 9 tập 1Cho biểu thức: P = $\frac{1}{2\sqrt{x} - 2}$ - $\frac{1}{2\sqrt{x}...
- Câu 8: Trang 34sách VNEN 9 tập 1Cho hai biểu thức: A = $\frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a}...
- Câu 10: Trang 34sách VNEN 9 tập 1Cho biểu thức: P = $\frac{3(x + \sqrt{x} - 3)}{x + \sqrt{x}...
- D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNGCâu 1: Trang 34 sách VNEN 9 tập 1Tìm giá trị lớn nhất...
- Câu 2: Trang 34 sách VNEN 9 tập 1Tìm các số hữu tỉ a sao cho biểu thức B = $\frac{\sqrt{a} +...
Bình luận (0)