Bài tập 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.a....

Để giải bài toán trên, ta sẽ làm như sau:

a. Để tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC:
- Tính chu vi tam giác ABC: p = $\frac{1}{2}$. (15 + 18 + 27) = 30
- Áp dụng công thức Heron:
S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ = $\sqrt{30(30 - 15)(30 - 18)(30 - 27)}$ = $90\sqrt{2}$

Sau đó, ta dùng công thức S = p.r để tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
r = $\frac{S}{p}$ = $\frac{90\sqrt{2}}{30}$ = $3\sqrt{2}$

b. Để tính diện tích tam giác GBC, ta có thể sử dụng tính chất của trọng tâm G trong tam giác ABC:
- Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A, I là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh G, đường trung tuyến AD.
- Xét tam giác ADH vuông tại H có GI // AH (vì cùng vuông góc với BC) ta có: $\frac{GI}{AH}$ = $\frac{GD}{AD}$ = $\frac{1}{3}$ (định lí Ta-lét trong tam giác)

Dựa vào công thức tính diện tích tam giác (S = 0.5 * b * h), ta tính được:
- $S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$. AH. BC và $S_{GBC}$ = $\frac{1}{2}$. GI. BC
Từ đó, ta có: $S_{GBC}$ = $\frac{1}{3}.S_{ABC}$ = $\frac{1}{3}.90\sqrt{2}$ = $30\sqrt{2}$

Vậy diện tích tam giác GBC là $30\sqrt{2}$

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn cho câu hỏi trên là:
a. Diện tích tam giác ABC là $90\sqrt{2}$ và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $3\sqrt{2}$.
b. Diện tích tam giác GBC là $30\sqrt{2}$