Bài tập 7.12 trang 42 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:Cho hình đóp S.ABC có SA....

Để giải bài toán trên, ta có thể thực hiện như sau:

a) Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=AB=a, nên ta có thể kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d1. Từ B, kẻ đường thẳng vuông góc với SB và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d2. Giao d1 và d2 tại điểm M. Kết nối A với M. Đoạn thẳng này chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC). Vậy hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) là đoạn thẳng AM.

b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và đường thẳng AB, được tính bằng công thức:
$$
\cos(\widehat{SC, AB}) = \frac{SC \cdot AB}{|SC| \cdot |AB|}
$$
Do SA=AB=BC=a, ta có SC = 2a. Từ đó:
$$
\cos(\widehat{SC, AB}) = \frac{2a \cdot a}{|2a| \cdot |a|} = \frac{2}{\sqrt{5}}
$$
Suy ra, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là:
$$
\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43^{\circ}
$$

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi đề bài là:
a) Đoạn thẳng AM chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).
b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là khoảng 63.43 độ.